In der Gruppentheorie ist die Frattinigruppe (oder genauer Frattiniuntergruppe) eine spezielle Untergruppe einer gegebenen Gruppe. Mit ihrer Hilfe kann insbesondere die Struktur endlicher p-Gruppen untersucht werden. Sie ist benannt nach dem italienischen Mathematiker Giovanni Frattini, der sie in einem 1885 erschienenen Artikel definiert hat.[1]

Untergruppendiagramm der Diedergruppe D4. Die drei Untergruppen der Ordnung vier in der zweiten Zeile sind die maximalen Untergruppen. Ihr Schnitt ist die Frattinigruppe. Sie ist eine der fünf Untergruppen der Ordnung 2.

Definition

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Ist   eine Gruppe, dann ist die Frattinigruppe   definiert als der Schnitt aller maximalen Untergruppen von  .[2]

Dabei heißt eine Untergruppe   von   maximal, wenn   gilt und es keine echt größere Untergruppe   mit   gibt.

Falls   keine maximalen Untergruppen hat, etwa im Fall der trivialen Gruppe   oder mancher unendlicher Gruppen wie der Prüfergruppe, setzt man  .[3]

Eigenschaften

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  • Die Frattinigruppe ist eine charakteristische Untergruppe, also insbesondere ein Normalteiler.
  • Ist   endlich, dann ist   nilpotent. Ist   ebenfalls nilpotent, dann ist auch   nilpotent.
  • Gilt   mit einer Untergruppe   von  , dann ist  .
  • Die Frattinigruppe besteht genau aus den Nichterzeugern von  , d. h., es gilt   genau dann, wenn für jede Teilmenge   aus   stets   folgt. Mit anderen Worten: Die Elemente der Frattinigruppe sind in jedem Erzeugendensystem von   überflüssig.

Literatur

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  • Bertram Huppert: Endliche Gruppen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Bd. 134). Band 1. Nachdruck. Springer, Berlin u. a. 1979, ISBN 3-540-03825-6, Kapitel III.

Einzelnachweise

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  1. Giovanni Frattini: Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni. In: Atti della Reale Accademia dei Lincei. Rendiconti. Serie 4, Bd. 1, Fasc. 9, 1884/1885 (1885), ISSN 0001-4435, S. 281–285; Nota II. In: Serie 4, Bd. 1, Fasc. 14, 1885, S. 455–457.
  2. Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen. Eine Einführung. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-60331-X, S. 98.
  3. Marshall Hall: The Theory of Groups. The Macmillan Company, New York NY 1959, S. 157.