Frattinigruppe

In der Gruppentheorie ist die Frattinigruppe (oder genauer Frattiniuntergruppe) eine spezielle Untergruppe einer gegebenen Gruppe. Mit ihrer Hilfe kann insbesondere die Struktur endlicher p-Gruppen untersucht werden. Sie ist benannt nach dem italienischen Mathematiker Giovanni Frattini, der sie in einem 1885 erschienenen Artikel definiert hat.

Untergruppendiagramm der Diedergruppe D₄. Die drei Untergruppen der Ordnung vier in der zweiten Zeile sind die maximalen Untergruppen. Ihr Schnitt ist die Frattinigruppe. Sie ist eine der fünf Untergruppen der Ordnung 2.

Definition

Ist $G$ eine Gruppe, dann ist die Frattinigruppe $\Phi (G)$ definiert als der Schnitt aller maximalen Untergruppen von $G$.

Dabei heißt eine Untergruppe $M$ von $G$ maximal, wenn $M\neq G$ gilt und es keine echt größere Untergruppe $H$ mit $M\subsetneq H\subsetneq G$ gibt.

Falls $G$ keine maximalen Untergruppen hat, etwa im Fall der trivialen Gruppe $G=\{e\}$ oder mancher unendlicher Gruppen wie der Prüfergruppe, setzt man $\Phi (G):=G$.

Eigenschaften

• Die Frattinigruppe ist eine charakteristische Untergruppe, also insbesondere ein Normalteiler.
• Ist $G$ endlich, dann ist $\Phi (G)$ nilpotent. Ist $G/\Phi (G)$ ebenfalls nilpotent, dann ist auch $G$ nilpotent.
• Gilt $G=H\Phi (G)$ mit einer Untergruppe $H$ von $G$, dann ist $G=H$.
• Die Frattinigruppe besteht genau aus den Nichterzeugern von $G$, d. h., es gilt $x\in \Phi (G)$ genau dann, wenn für jede Teilmenge $E\subseteq G$ aus $G=\langle E,x\rangle$ stets $G=\langle E\rangle$ folgt. Mit anderen Worten: Die Elemente der Frattinigruppe sind in jedem Erzeugendensystem von $G$ überflüssig.

Literatur

• Bertram Huppert: Endliche Gruppen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Bd. 134). Band 1. Nachdruck. Springer, Berlin u. a. 1979, ISBN 3-540-03825-6, Kapitel III.