Fixpunktsatz (Endliche Gruppen)

Zu den zahlreichen Resultaten in der Theorie der endlichen Gruppen, die im Zusammenhang mit den Sylow-Sätzen stehen, zählt ein als Fixpunktsatz bezeichneter Satz, der eine in diesem Kontext grundlegende Existenzaussage macht.^[1] Der Fixpunktsatz beruht auf einer allgemeinen Formel, welche nicht zuletzt die bekannte Klassengleichung in sich einschließt.^[1]^[2]^[3]

Formulierung

Dieser Fixpunktsatz lässt sich folgendermaßen formulieren:^[4]^[5]^[6]

Gegeben seien eine endliche Menge $X$ und weiter eine Primzahl $p$ , eine natürliche Zahl $r$ sowie eine endliche Gruppe $(G,\cdot )$ der Ordnung $|G|=p^{r}$ .^{[A 1]}

Dabei soll $(G,\cdot )$ vermöge der äußeren Operation $G\times X\to X\;,\;(g,x)\mapsto g\cdot x\;,\;$ auf $X$ operieren.^{[A 2]}

Dann gelten folgende Aussagen:

(i) $|\operatorname {Fix} _{G}(X)|\equiv |X|{\pmod {p}}$ ^{[A 3]}^{[A 4]}

(ii) Insbesondere existiert, wenn $|X|$ und $p$ teilerfremd sind, mindestens ein Fixpunkt.

Allgemeine Formel

Die oben erwähnte allgemeine Formel lässt sich wie folgt angeben:^[4]^[6]

Gegeben seien eine Menge $X$ und eine Gruppe $(G,\cdot )$ , die vermöge $G\times X\to X\;,\;(g,x)\mapsto g\cdot x\;,\;$ auf $X$ operieren soll.

Weiter gegeben sei ein Repräsentantensystem $V\subseteq X$ für die durch die Bahnen auf $X$ gegebenen Partition.

Dann gilt hinsichtlich der Mächtigkeiten die Formel

|X|=|\operatorname {Fix} _{G}(X)|+\sum \limits _{x\in V\;{\text{mit}} \atop \;\ (G\colon G_{x})>1}{(G\colon G_{x})}

.^{[A 5]}^{[A 6]}^{[A 7]}^{[A 8]}^{[A 9]}

Folgerungen

Der obige Fixpunktsatz hat eine Reihe interessanter Anwendungen.

Über das Zentrum endlicher p-Gruppen

Hier führt der Fixpunktsatz unmittelbar zu folgendem Resultat:^[7]^[8]

Gegeben seien eine Primzahl $p$ und dazu eine endliche p-Gruppe $G$ mit zugehörigem Zentrum $\mathrm {Z} (G)$ .

Dann gilt:

(i) Besteht ein Normalteiler $N\trianglelefteq G$ nicht aus dem neutralen Element allein, so besteht auch der Durchschnitt $\mathrm {Z} (G)\cap N$ nicht aus dem neutralen Element allein.

(ii) Insbesondere besitzt die endliche p-Gruppe $G$ im Falle, dass sie mehr als einem Element hat, ein nichttriviales Zentrum $\mathrm {Z} (G)$ .

Zu Normalteilern endlicher p-Gruppen

Hier ergibt sich aus dem Fixpunktsatz die folgende Strukturaussage:^[9]

Jede endliche p-Gruppe $G$ der Ordnung $|G|=p^{r}$ ( $p$ prim, $r\in \mathbb {N} \;,\;r\geq 1$ ) hat einen Normalteiler $N\trianglelefteq G$ der Ordnung $|N|=p^{r-1}$ .

Literatur

Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1 (= Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure). Carl Hanser Verlag, München, Wien 1975, ISBN 3-446-11965-5 (MR0460010).
Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. 4. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-54721-2, doi:10.1007/978-3-662-54722-9.
Gernot Stroth: Endliche Gruppen. Eine Einführung (= De Gruyter Studium). Walter de Gruyter, Berlin 2013, ISBN 978-3-11-029157-5.

Anmerkungen

↑ Mit $|M|$ bezeichnet man die Mächtigkeit einer Menge $M$ . Ist $M$ eine endliche Menge, so ist $|M|$ die Anzahl der in $M$ enthaltenen Elemente. Bei Gruppen nennt man diese Mächtigkeit auch Ordnung.
↑ Die äußere Operation und die in der gegebenen Gruppe vorliegende innere Verknüpfung werden oft mit demselben Symbol, nämlich $\cdot$ , bezeichnet. Nicht selten wird dieses Symbol (Punkt) gänzlich unterdrückt. Es ist dann vereinbarungsgemäß $gx=g\cdot x$ .
↑ Die Teilmenge $\operatorname {Fix} _{G}(X)\subseteq X$ besteht aus genau den Elementen $x\in X$ mit $g\cdot x=x$ für alle $g\in G$ . Man nennt solche Elemente Fixpunkte (unter der betreffenden Gruppenoperation).
↑ Mit $\equiv$ wird die zahlentheoretische Kongruenz bezeichnet.
↑ Für ein $x\in X$ ist dabei $G_{x}=\{g\in G\ |\ g\cdot x=x\}\leq G$ der zugehörige Stabilisator und $(G\colon G_{x})$ sein Index in $(G,\cdot )$ .
↑ Ein $x\in X$ ist genau dann ein Fixpunkt (in Bezug auf die vorliegende Gruppenoperation), wenn $G_{x}=G$ bzw. $(G\colon G_{x})=1$ gilt.
↑ Die Summationsbedingung $(G\colon G_{x})>1$ wird möglicherweise von keinem $x\in V$ erfüllt. In diesem Falle hat die Summe vereinbarungsgemäß den Wert $0$ .
↑ Den Fixpunktsatz gewinnt man aus der allgemeinen Formel unter Anwendung des Satzes von Lagrange.
↑ Bei Karpfinger/Meyberg (S. 99) findet man die allgemeine Formel unter der Bezeichnung Fixpunktformel.

Einzelnachweise

↑ ^a ^b Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 1975, S. 65 ff., S. 67
↑ Gernot Stroth: Endliche Gruppen. 2013, S. 5 ff.
↑ Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. 2017, S. 98 ff.
↑ ^a ^b Meyberg, op. cit., S. 67
↑ Stroth, op. cit., S. 5
↑ ^a ^b Karpfinger/Meyberg, op. cit., S. 99
↑ Stroth, op. cit., S. 6
↑ Meyberg, op. cit., S. 68
↑ Meyberg, op. cit., S. 74–75

[7] Mit $|M|$ bezeichnet man die Mächtigkeit einer Menge $M$ . Ist $M$ eine endliche Menge, so ist $|M|$ die Anzahl der in $M$ enthaltenen Elemente. Bei Gruppen nennt man diese Mächtigkeit auch Ordnung.

[8] Die äußere Operation und die in der gegebenen Gruppe vorliegende innere Verknüpfung werden oft mit demselben Symbol, nämlich $\cdot$ , bezeichnet. Nicht selten wird dieses Symbol (Punkt) gänzlich unterdrückt. Es ist dann vereinbarungsgemäß $gx=g\cdot x$ .

[9] Die Teilmenge $\operatorname {Fix} _{G}(X)\subseteq X$ besteht aus genau den Elementen $x\in X$ mit $g\cdot x=x$ für alle $g\in G$ . Man nennt solche Elemente Fixpunkte (unter der betreffenden Gruppenoperation).

[10] Mit $\equiv$ wird die zahlentheoretische Kongruenz bezeichnet.

[11] Für ein $x\in X$ ist dabei $G_{x}=\{g\in G\ |\ g\cdot x=x\}\leq G$ der zugehörige Stabilisator und $(G\colon G_{x})$ sein Index in $(G,\cdot )$ .

[12] Ein $x\in X$ ist genau dann ein Fixpunkt (in Bezug auf die vorliegende Gruppenoperation), wenn $G_{x}=G$ bzw. $(G\colon G_{x})=1$ gilt.

[13] Die Summationsbedingung $(G\colon G_{x})>1$ wird möglicherweise von keinem $x\in V$ erfüllt. In diesem Falle hat die Summe vereinbarungsgemäß den Wert $0$ .

[14] Den Fixpunktsatz gewinnt man aus der allgemeinen Formel unter Anwendung des Satzes von Lagrange.

[15] Bei Karpfinger/Meyberg (S. 99) findet man die allgemeine Formel unter der Bezeichnung Fixpunktformel.

[KM-01-1] Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 1975, S. 65 ff., S. 67

[GS-01-2] Gernot Stroth: Endliche Gruppen. 2013, S. 5 ff.

[CK-KM-01-3] Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. 2017, S. 98 ff.

[KM-02-4] Meyberg, op. cit., S. 67

[GS-02-5] Stroth, op. cit., S. 5

[CK-KM-02-6] Karpfinger/Meyberg, op. cit., S. 99

[GS-03-16] Stroth, op. cit., S. 6

[KM-03-17] Meyberg, op. cit., S. 68

[KM-04-18] Meyberg, op. cit., S. 74–75

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