Fixpunktsatz für ganze Funktionen

Der Fixpunktsatz für ganze Funktionen ist ein Lehrsatz der Komplexen Analysis, welcher auf eine Arbeit des französischen Mathematikers Pierre Fatou aus dem Jahr 1926 zurückgeht. Er wurde von dem amerikanischen Mathematiker Paul C. Rosenbloom im Jahr 1948 wiederentdeckt und in der Folge weiter verallgemeinert.

Der Satz ergibt sich als Folgerung aus dem Kleinen Satz von Picard.

Formulierung des Satzes

„Für eine ganze Funktion $f\colon \,\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ hat die verkettete Funktion   ${f\circ f}\colon \,\mathbb {C} \to \mathbb {C}$   stets einen Fixpunkt, es sei denn,   $f$   ist eine Translation   $z\mapsto f(z)=z+z_{0}$   mit   $z_{0}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$.“

Abgrenzung

Hingegen brauchen ganze Funktionen $f\colon \,\mathbb {C} \to \mathbb {C}$   selbst keine Fixpunkte zu besitzen. Ein einfaches Beispiel hierfür liefert die Funktion $z\mapsto f(z)={z+\exp(z)}$, welche sicher „fixpunktfrei“ ist, da nämlich die komplexe Exponentialfunktion $\exp$ keine Nullstellen hat.

Literatur

Originalarbeiten

• Detlef Bargmann, Walter Bergweiler: Periodic points and normal families. In: Proc. Amer. Math. Soc. Band 129, 2001, S. 2881–2888 (MR1840089). 

• Pierre Fatou: Sur l’itération des fonctions transcendantes Entières. In: Acta Math. Band 47, 1926, S. 337–370 (MR1555220). 
• Paul C. Rosenbloom: L’itération des fonctions entières. In: C. R. Acad. Sci. Paris. Band 227, 1948, S. 382–383 (MR0026691). 
• P. C. Rosenbloom: The fix-points of entire functions. In: Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. Tome Supplémentaire. 1952, S. 186–192 (MR0051916). 

Monographien

• Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Birkhäuser Verlag, Basel [u. a.] 1979, ISBN 3-7643-0989-X. 
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2 (= Springer-Lehrbuch – Grundwissen Mathematik). 3., neu bearbeitete Auflage. Springer Verlag, Berlin [u. a.] 2007, ISBN 978-3-540-40432-3. 

Weblink

• Link zu dem weiterführenden Artikel von Bargmann und Bergweiler (PDF; 180 kB)