Der Fixpunktsatz von Weissinger ist ein Fixpunktsatz in der Analysis. Er verallgemeinert den Fixpunktsatz von Banach.

Der Satz wurde von Johannes Weissinger 1952 aufgestellt und bewiesen.[1]

Sei   ein Banachraum und   abgeschlossen und nichtleer sowie   eine Selbstabbildung, für die

 

gilt mit Zahlen  , so dass  . Dann besitzt   genau einen Fixpunkt in  , nämlich

 

mit einem beliebigen  . Es gilt die Fehlerabschätzung

 

mit  .

Bemerkungen

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  • Die Bedingung   ist offenbar hinreichend, denn in diesem Fall kann man   wählen.
  • Der Beweis dieses Fixpunktsatzes stimmt im Wesentlichen mit dem klassischen Beweis des Fixpunktsatzes von Banach überein. Der Fixpunktsatz von Banach folgt mit der Ersetzung   für ein konstantes   als Lipschitz-Konstante der Abbildung  .
  • Der Fixpunktsatz von Weissinger dient als Basis für Existenz- und Eindeutigkeitsbeweise in der Theorie der Differentialgleichungen. Insbesondere folgt aus ihm der Satz von Picard-Lindelöf.

Einzelnachweise

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  1. Johannes Weissinger: Zur Theorie und Anwendung des Iterationsverfahrens. In: Mathematische Nachrichten. Band 8, S. 193–212.