In der Mathematik werden flache Unterräume Riemannscher Mannigfaltigkeiten als Flachs (engl.: flats) bezeichnet. Der Begriff ist besonders in der Theorie nichtpositiver Krümmung und speziell in der Theorie symmetrischer Räume von Bedeutung.

Definition

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Es sei   eine einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit. Eine  -dimensionale total-geodätische Untermannigfaltigkeit   ist ein r-Flach, wenn sie isometrisch zum euklidischen Raum   ist. Daraus folgt insbesondere, dass die Schnittkrümmung dieser Untermannigfaltigkeit konstant Null ist.

Man kann Flachs auch charakterisieren als einfach zusammenhängende, total-geodätische Untermannigfaltigkeiten, deren Schnittkrümmung konstant Null ist.

Die Flachs maximaler Dimension in einer Mannigfaltigkeit   werden als maximale Flachs in   bezeichnet.

Beispiele

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Im euklidischen Raum   sind die affinen Unterräume die einzigen Flachs. Es gibt zwar weitere Untermannigfaltigkeiten verschwindender Schnittkrümmung (z. B. Kreiszylinder im  ), aber diese sind nicht einfach zusammenhängend und deshalb nicht isometrisch zu einem euklidischen Raum.

In Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung sind die Geodäten (1-dimensionale Flachs) bereits die maximalen Flachs, da 2-dimensionale Flachs verschwindende Krümmung hätten.

Flachs in symmetrischen Räumen

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Es sei   ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ vom Rang  , und   seine Cartan-Zerlegung. Für   sei   die Exponentialabbildung in  .

Dann sind alle   enthaltenden  -Flachs   von der Form

 

für eine maximal abelsche Unteralgebra  .

(Insbesondere lässt sich der Begriff der Weyl-Kammern auf Flachs in symmetrischen Räumen übertragen.)

Weiterhin gibt es zu je zwei Flachs   und je zwei Punkten   eine Isometrie   mit

 .

Der Rang eines symmetrischen Raumes ist (per Definition) die Dimension eines maximalen Flachs.

Siehe auch

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Literatur

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  • Sigurdur Helgason: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7
  • Patrick Eberlein: Geometry of nonpositively curved manifolds. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1996. ISBN 0-226-18197-9; 0-226-18198-7