Flach (Geometrie)

In der Mathematik werden flache Unterräume Riemannscher Mannigfaltigkeiten als Flachs (engl.: flats) bezeichnet. Der Begriff ist besonders in der Theorie nichtpositiver Krümmung und speziell in der Theorie symmetrischer Räume von Bedeutung.

Definition

Es sei $X$ eine einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit. Eine $r$-dimensionale total-geodätische Untermannigfaltigkeit $F\subset X$ ist ein r-Flach, wenn sie isometrisch zum euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{r}$ ist. Daraus folgt insbesondere, dass die Schnittkrümmung dieser Untermannigfaltigkeit konstant Null ist.

Man kann Flachs auch charakterisieren als einfach zusammenhängende, total-geodätische Untermannigfaltigkeiten, deren Schnittkrümmung konstant Null ist.

Die Flachs maximaler Dimension in einer Mannigfaltigkeit $X$ werden als maximale Flachs in $X$ bezeichnet.

Beispiele

Im euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ sind die affinen Unterräume die einzigen Flachs. Es gibt zwar weitere Untermannigfaltigkeiten verschwindender Schnittkrümmung (z. B. Kreiszylinder im $\mathbb {R} ^{3}$), aber diese sind nicht einfach zusammenhängend und deshalb nicht isometrisch zu einem euklidischen Raum.

In Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung sind die Geodäten (1-dimensionale Flachs) bereits die maximalen Flachs, da 2-dimensionale Flachs verschwindende Krümmung hätten.

Flachs in symmetrischen Räumen

Es sei $X=G/K$ ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ vom Rang $r$, und ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$ seine Cartan-Zerlegung. Für $x\in X$ sei $exp_{x}\colon {\mathfrak {p}}\to X$ die Exponentialabbildung in $x$.

Dann sind alle $x$ enthaltenden $r$-Flachs $F\subset X$ von der Form

$F=exp_{x}({\mathfrak {a}})$

für eine maximal abelsche Unteralgebra ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}$.

(Insbesondere lässt sich der Begriff der Weyl-Kammern auf Flachs in symmetrischen Räumen übertragen.)

Weiterhin gibt es zu je zwei Flachs $F_{1},F_{2}\subset X$ und je zwei Punkten $x_{1}\in F_{1},x_{2}\in F_{2}$ eine Isometrie $g\in G$ mit

$g(F_{1})=F_{2},g(x_{1})=x_{2}$.

Der Rang eines symmetrischen Raumes ist (per Definition) die Dimension eines maximalen Flachs.

Siehe auch

• Flache Mannigfaltigkeit

Literatur

• Sigurdur Helgason: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7
• Patrick Eberlein: Geometry of nonpositively curved manifolds. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1996. ISBN 0-226-18197-9; 0-226-18198-7