In der Stochastik gibt es neben der üblichen mathematischen Notation und den mathematischen Symbolen folgende häufig verwendete Konventionen:
Zufallsvariablen werden in Großbuchstaben geschrieben:
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Realisierungen einer Zufallsvariablen werden mit den entsprechenden Kleinbuchstaben geschrieben, z. B. für die Beobachtungen in einer Stichprobe :
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
Für die Bezeichnung von Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichten werden Kleinbuchstaben benutzt, z. B.
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Für die Bezeichnung von Verteilungsfunktionen werden Großbuchstaben benutzt, z. B.
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
Speziell die Wahrscheinlichkeitsdichte der Standardnormalverteilung wird die Bezeichnung
φ
(
z
)
{\displaystyle \varphi (z)}
Φ
(
z
)
{\displaystyle \Phi (z)}
Griechische Buchstaben (z. B.
θ
,
β
{\displaystyle \theta ,\beta }
Eine Schätzfunktion wird häufig mit einem Zirkumflex über dem entsprechenden Symbol bezeichnet, z. B.
θ
^
{\displaystyle {\hat {\theta }}}
Theta Dach ).
Das arithmetische Mittel wird mit
x
¯
{\displaystyle {\bar {x}}}
x
{\displaystyle x}
quer ).
Im Folgenden sei stets ein Wahrscheinlichkeitsraum
(
Ω
,
Σ
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}
Ergebnisraum
Ω
{\displaystyle \Omega }
Menge ,
Σ
{\displaystyle \Sigma }
σ-Algebra von Teilmengen von
Ω
{\displaystyle \Omega }
Ω
{\displaystyle \Omega }
P
{\displaystyle P}
Ω
.
{\displaystyle \Omega .}
Axiome:
Jedem Ereignis
A
∈
Σ
{\displaystyle A\in \Sigma }
P
(
A
)
{\displaystyle P(A)}
0
≤
P
(
A
)
≤
1
{\displaystyle 0\leq P(A)\leq 1}
P
(
Ω
)
=
1
{\displaystyle P(\Omega )=1\,}
für paarweise disjunkte Ereignisse
A
1
,
A
2
,
…
{\displaystyle A_{1},A_{2},\dots }
P
(
A
1
∪
A
2
∪
…
)
=
P
(
A
1
)
+
P
(
A
2
)
+
…
{\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2}\cup \dots )=P(A_{1})+P(A_{2})+\dots }
Rechenregeln: Aus den Axiomen ergibt sich:
P
(
∅
)
=
0
{\displaystyle P(\emptyset )=0}
Für
A
⊂
B
{\displaystyle A\subset B}
P
(
B
∖
A
)
=
P
(
B
)
−
P
(
A
)
{\displaystyle P(B\setminus A)=P(B)-P(A)}
P
(
A
)
≤
P
(
B
)
{\displaystyle P(A)\leq P(B)}
Für das Gegenereignis
A
¯
=
Ω
∖
A
{\displaystyle {\overline {A}}=\Omega \setminus A}
P
(
A
¯
)
=
1
−
P
(
A
)
{\displaystyle P({\overline {A}})=1-P(A)}
P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
{\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}
Laplace-Experimente
P
(
A
)
=
|
A
|
|
Ω
|
=
Anzahl der günstigen Ergebnisse
Anzahl der möglichen Ergebnisse
{\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}={\frac {\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}}}
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P
(
A
|
B
)
=
P
B
(
A
)
=
P
(
A
∩
B
)
P
(
B
)
{\displaystyle P(A\vert B)=P_{B}(A)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}
Satz von Bayes :
P
(
B
|
A
)
=
P
(
B
)
P
(
A
|
B
)
P
(
B
)
P
(
A
|
B
)
+
P
(
B
¯
)
P
(
A
|
B
¯
)
{\displaystyle P(B\vert A)={\frac {P(B)P(A\vert B)}{P(B)P(A\vert B)+P({\overline {B}})P(A\vert {\overline {B}})}}}
Unabhängigkeit :
Zwei Ereignisse
A
,
B
{\displaystyle A,B}
⇔
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
⋅
P
(
B
)
{\displaystyle \Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}
Fakultät :
n
{\displaystyle n}
n
!
=
n
⋅
(
n
−
1
)
⋅
(
n
−
2
)
⋅
⋯
⋅
3
⋅
2
⋅
1
=
n
⋅
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot 3\cdot 2\cdot 1=n\cdot (n-1)!}
wobei
0
!
=
1
!
=
1
{\displaystyle 0!=1!=1}
ohne Wiederholung(von n Elementen)
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (a,b,c)}
mit Wiederholung(von r + s + … + t = n Elementen, von denen jeweils r , s … t nicht unterscheidbar sind)
(
a
,
a
,
b
)
{\displaystyle (a,a,b)}
Permutation
(
a
,
b
)
≠
(
b
,
a
)
{\displaystyle (a,b)\neq (b,a)}
n
!
{\displaystyle ~n!~}
(
r
+
s
+
…
+
t
)
!
r
!
⋅
s
!
⋅
…
⋅
t
!
=
n
!
r
!
⋅
s
!
⋅
…
⋅
t
!
{\displaystyle {\frac {(r+s+\ldots +t)!}{r!\cdot s!\cdot \ldots \cdot t!}}={\frac {n!}{r!\cdot s!\cdot \ldots \cdot t!}}}
Binomialkoeffizient n über k “
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}
Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen von
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
ohne Wiederholung(siehe Hypergeometrische Verteilung )
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (a,b,c)}
{
a
,
b
,
c
}
{\displaystyle \{a,b,c\}}
mit Wiederholung(siehe Binomialverteilung )
(
a
,
a
,
b
)
{\displaystyle (a,a,b)}
{
a
,
a
,
b
}
{\displaystyle \{a,a,b\}}
Variation
(
a
,
b
)
≠
(
b
,
a
)
{\displaystyle (a,b)\neq (b,a)}
(
n
k
)
⋅
k
!
=
n
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle {n \choose k}{\cdot k!}={\frac {n!}{\left(n-k\right)!}}}
n
k
{\displaystyle ~n^{k}~}
Kombination
{
a
,
b
}
=
{
b
,
a
}
{\displaystyle \{a,b\}=\{b,a\}}
(
n
k
)
=
n
!
(
n
−
k
)
!
⋅
k
!
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{{\left(n-k\right)!}\cdot k!}}}
(
(
n
k
)
)
=
(
n
+
k
−
1
k
)
=
(
n
+
k
−
1
)
!
(
n
−
1
)
!
⋅
k
!
{\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={n+k-1 \choose k}={\frac {\left(n+k-1\right)!}{\left(n-1\right)!\cdot k!}}}
Eine Funktion
f
{\displaystyle f}
diskreten Zufallsvariablen
X
{\displaystyle X}
Für alle
x
∈
Z
{\displaystyle x\in \mathbb {Z} }
f
(
x
)
≥
0
{\displaystyle f(x)\geq 0}
∑
x
∈
Z
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle \sum _{x\in \mathbb {Z} }f(x)=1}
Für die zugehörige Zufallsvariable gilt dann:
P
(
X
=
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle P(X=x)=f(x)}
Eine Zufallsgröße
X
{\displaystyle X}
f
(
x
)
=
P
(
X
=
x
)
{\displaystyle f(x)=P(X=x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
X
{\displaystyle X}
E
(
X
)
=
μ
=
∑
x
∈
Z
x
⋅
f
(
x
)
{\displaystyle E(X)=\mu =\sum _{x\in \mathbb {Z} }\,x\cdot f(x)}
E
(
g
(
X
)
)
=
∑
x
∈
Z
g
(
x
)
⋅
f
(
x
)
{\displaystyle E(g(X))=\sum _{x\in \mathbb {Z} }\,g(x)\cdot f(x)}
V
(
X
)
=
σ
2
=
∑
x
∈
Z
(
x
−
μ
)
2
⋅
f
(
x
)
{\displaystyle V(X)=\sigma ^{2}=\sum _{x\in \mathbb {Z} }\,(x-\mu )^{2}\cdot f(x)}
Eine Funktion
f
{\displaystyle f}
stetigen Zufallsvariablen
X
{\displaystyle X}
Für alle
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
f
(
x
)
≥
0
{\displaystyle f(x)\geq 0}
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
1
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=1}
Für eine stetige Zufallsgröße gilt dann:
P
(
a
≤
X
≤
b
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle P(a\leq X\leq b)=\int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}
Eine Zufallsgröße
X
{\displaystyle X}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
Für die Wahrscheinlichkeit gilt
P
(
X
=
a
)
=
0
{\displaystyle P(X=a)=0\,}
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
P
(
a
≤
X
≤
b
)
=
P
(
a
<
X
≤
b
)
=
P
(
a
≤
X
<
b
)
=
P
(
a
<
X
<
b
)
{\displaystyle P(a\leq X\leq b)=P(a<X\leq b)=P(a\leq X<b)=P(a<X<b)}
Erwartungswert und Varianz sind gegeben durch
E
(
X
)
=
μ
=
∫
−
∞
+
∞
x
⋅
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle E(X)=\mu =\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x\cdot f(x)\mathrm {d} x}
E
(
g
(
X
)
)
=
∫
−
∞
+
∞
g
(
x
)
⋅
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle E(g(X))=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }g(x)\cdot f(x)\mathrm {d} x}
V
(
X
)
=
σ
2
=
∫
−
∞
+
∞
(
x
−
μ
)
2
⋅
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle V(X)=\sigma ^{2}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{2}\cdot f(x)\mathrm {d} x}
Bearbeiten
Für den Erwartungswert
E
(
X
)
{\displaystyle E(X)}
Varianz
V
(
X
)
{\displaystyle V(X)}
Kovarianz
Cov
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)}
Korrelation
ϱ
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \varrho (X,Y)}
E
(
a
X
+
b
)
=
a
E
(
X
)
+
b
{\displaystyle E(aX+b)=aE(X)+b}
E
(
X
+
Y
)
=
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
{\displaystyle E(X+Y)=E(X)+E(Y)}
E
(
∑
i
=
1
n
X
i
)
=
∑
i
=
1
n
E
(
X
i
)
{\displaystyle E(\sum _{i=1}^{n}X_{i})=\sum _{i=1}^{n}E(X_{i})}
Für unabhängige Zufallsvariablen
X
i
{\displaystyle X_{i}}
E
(
∏
i
=
1
n
X
i
)
=
∏
i
=
1
n
E
(
X
i
)
{\displaystyle E(\prod _{i=1}^{n}X_{i})=\prod _{i=1}^{n}E(X_{i})}
V
(
X
)
=
E
(
(
X
−
E
(
X
)
)
2
)
=
E
(
X
2
)
−
E
(
X
)
2
{\displaystyle V(X)=E((X-E(X))^{2})=E(X^{2})-E(X)^{2}}
V
(
a
X
+
b
)
=
a
2
V
(
X
)
{\displaystyle V(aX+b)=a^{2}V(X)}
Für unabhängige Zufallsvariablen
X
i
{\displaystyle X_{i}}
V
(
∑
i
=
1
n
X
i
)
=
∑
i
=
1
n
V
(
X
i
)
{\displaystyle V(\sum _{i=1}^{n}X_{i})=\sum _{i=1}^{n}V(X_{i})}
Cov
(
X
,
Y
)
=
E
(
(
X
−
E
(
X
)
)
(
Y
−
E
(
Y
)
)
)
=
E
(
X
Y
)
−
E
(
X
)
E
(
Y
)
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y)}
Cov
(
X
,
Y
)
=
Cov
(
Y
,
X
)
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {Cov} (Y,X)}
Cov
(
X
,
X
)
=
V
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,X)=V(X)}
Cov
(
a
X
+
b
,
Y
)
=
a
Cov
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \operatorname {Cov} (aX+b,Y)=a\operatorname {Cov} (X,Y)}
Cov
(
X
1
+
X
2
,
Y
)
=
Cov
(
X
1
,
Y
)
+
Cov
(
X
2
,
Y
)
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{1}+X_{2},Y)=\operatorname {Cov} (X_{1},Y)+\operatorname {Cov} (X_{2},Y)}
V
(
X
+
Y
)
=
V
(
X
)
+
V
(
Y
)
+
2
Cov
(
X
,
Y
)
{\displaystyle V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\operatorname {Cov} (X,Y)}
ϱ
(
X
,
Y
)
=
Cov
(
X
,
Y
)
V
(
X
)
V
(
Y
)
{\displaystyle \varrho (X,Y)={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{{\sqrt {V(X)}}{\sqrt {V(Y)}}}}}
Tschebyschow-Ungleichung :
P
(
|
X
−
E
(
X
)
|
≥
α
)
≤
V
(
x
)
α
2
{\displaystyle P(|X-E(X)|\geq \alpha )\leq {\frac {V(x)}{\alpha ^{2}}}}
Gegeben ist ein
n
{\displaystyle n}
Bernoulli-Versuch (d. h.
n
{\displaystyle n}
p
{\displaystyle p}
q
=
1
−
p
{\displaystyle q=1-p}
X
{\displaystyle X}
Anzahl der Erfolge heißt Binomialverteilung .
Die Wahrscheinlichkeit für
k
{\displaystyle k}
P
(
X
=
k
)
=
(
n
k
)
⋅
p
k
⋅
q
n
−
k
{\displaystyle P(X=k)={\binom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}}
Erwartungswert :
μ
=
E
(
X
)
=
n
⋅
p
{\displaystyle \mu =E(X)=n\cdot p}
Varianz :
σ
2
=
V
(
X
)
=
n
⋅
p
⋅
q
{\displaystyle \sigma ^{2}=V(X)=n\cdot p\cdot q}
Standardabweichung :
σ
=
σ
(
X
)
=
V
(
X
)
=
n
⋅
p
⋅
q
{\displaystyle \sigma =\sigma (X)={\sqrt {V(X)}}={\sqrt {n\cdot p\cdot q}}}
(Wahrscheinlichkeiten von Umgebungen des Erwartungswertes bei Binomialverteilungen)
Zwischen dem Radius einer Umgebung um den Erwartungswert und der zugehörigen Wahrscheinlichkeit der Umgebung gelten folgende Zuordnungen (falls
σ
>
3
{\displaystyle \sigma >3}
Radius der Umgebung
Wahrscheinlichkeit der Umgebung
1σ
0,68
2σ
0,955
3σ
0,997
Wahrscheinlichkeit der Umgebung
Radius der Umgebung
0,90
1,64σ
0,95
1,96σ
0,99
2,58σ
Hat die Zufallsvariable
X
{\displaystyle X}
E
(
X
)
=
μ
{\displaystyle E(X)=\mu }
σ
{\displaystyle \sigma }
X
∗
{\displaystyle X^{*}}
X
∗
=
X
−
μ
σ
.
{\displaystyle X^{*}={\frac {X-\mu }{\sigma }}.}
Die standardisierte Variable
X
∗
{\displaystyle X^{*}}
Gegeben sei eine Binomialverteilung mit großem Stichprobenumfang
n
{\displaystyle n}
p
≤
0
,
1
{\displaystyle p\leq 0,1}
μ
=
n
⋅
p
{\displaystyle \mu =n\cdot p}
k
{\displaystyle k}
P
(
X
=
0
)
≈
e
−
μ
{\displaystyle P(X=0)\approx e^{-\mu }}
P
(
X
=
k
)
≈
μ
k
⋅
P
(
X
=
k
−
1
)
{\displaystyle P(X=k)\approx {\frac {\mu }{k}}\cdot P(X=k-1)}
Die Beziehungen lassen sich zusammenfassen zu:
P
(
X
=
k
)
≈
μ
k
k
!
⋅
e
−
μ
{\displaystyle P(X=k)\approx {\frac {\mu ^{k}}{k!}}\cdot e^{-\mu }}
Gilt für die Verteilung einer Zufallsgröße
X
{\displaystyle X}
P
(
X
=
k
)
=
μ
k
k
!
⋅
e
−
μ
{\displaystyle P(X=k)={\frac {\mu ^{k}}{k!}}\cdot e^{-\mu }}
Sei
X
{\displaystyle X}
binomialverteilte Zufallsgröße mit
σ
>
4
{\displaystyle \sigma >4}
σ
>
9
{\displaystyle \sigma >9}
k
{\displaystyle k}
P
(
X
=
k
)
≈
1
σ
⋅
φ
(
k
−
μ
σ
)
{\displaystyle P(X=k)\approx {1 \over \sigma }\cdot \varphi \left({k-\mu \over \sigma }\right)}
P
(
X
≤
k
)
=
F
X
(
k
)
≈
φ
(
k
−
μ
σ
)
{\displaystyle P(X\leq k)=F_{X}(k)\approx \varphi \left({k-\mu \over \sigma }\right)}
Die Dichte(Funktion)
φ
{\displaystyle \varphi }
Glockenkurve bekannt) der Standardnormalverteilung ist definiert durch:
φ
(
x
)
=
1
2
π
e
−
1
2
x
2
{\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}
und die Verteilungsfunktion
Φ
{\displaystyle \Phi }
Φ
(
z
)
=
∫
−
∞
z
φ
(
x
)
d
x
{\displaystyle \Phi (z)=\int \limits _{-\infty }^{z}\varphi (x)dx}
Näherungsformeln für eine diskrete Verteilung unter Anwendung der Kontinuitätkorrektur:
P
(
X
=
k
)
≈
Φ
(
k
+
0
,
5
−
μ
σ
)
−
Φ
(
k
−
0
,
5
−
μ
σ
)
{\displaystyle P(X=k)\approx \Phi \left({\frac {k+0{,}5-\mu }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {k-0{,}5-\mu }{\sigma }}\right)}
P
(
X
≤
k
)
≈
Φ
(
k
+
0
,
5
−
μ
σ
)
{\displaystyle P(X\leq k)\approx \Phi \left({\frac {k+0{,}5-\mu }{\sigma }}\right)}
P
(
a
≤
X
≤
b
)
≈
Φ
(
b
+
0
,
5
−
μ
σ
)
−
Φ
(
a
−
0
,
5
−
μ
σ
)
{\displaystyle P(a\leq X\leq b)\approx \Phi \left({\frac {b+0{,}5-\mu }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {a-0{,}5-\mu }{\sigma }}\right)}
In einer Grundgesamtheit vom Umfang
N
{\displaystyle N}
K
{\displaystyle K}
N
−
K
{\displaystyle N-K}
n
{\displaystyle n}
X
{\displaystyle X}
hypergeometrischen Verteilung .
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe vom Umfang
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
P
(
X
=
k
)
=
(
K
k
)
⋅
(
N
−
K
n
−
k
)
(
N
n
)
{\displaystyle P(X=k)={{\binom {K}{k}}\cdot {\binom {N-K}{n-k}} \over {\binom {N}{n}}}}
N
{\displaystyle N}
K
{\displaystyle K}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
Sei
p
=
K
N
{\displaystyle p={\tfrac {K}{N}}}
μ
=
E
(
X
)
=
n
⋅
p
=
n
⋅
K
N
{\displaystyle \mu =E(X)=n\cdot p=n\cdot {\frac {K}{N}}}
σ
2
=
V
(
X
)
=
n
⋅
p
(
1
−
p
)
N
−
n
N
−
1
=
n
⋅
K
N
(
1
−
K
N
)
N
−
n
N
−
1
{\displaystyle \sigma ^{2}=V(X)=n\cdot p(1-p){\frac {N-n}{N-1}}=n\cdot {\frac {K}{N}}\left(1-{\frac {K}{N}}\right){\frac {N-n}{N-1}}}
Gegeben ist ein Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit
p
{\displaystyle p}
W
{\displaystyle W}
geometrische Verteilung .
Es gilt:
P
(
W
=
k
)
=
p
⋅
q
k
−
1
{\displaystyle P(W=k)=p\cdot q^{k-1}}
k
{\displaystyle k}
P
(
W
>
k
)
=
q
k
{\displaystyle \,P(W>k)=q^{k}}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
P
(
W
≤
k
)
=
1
−
q
k
{\displaystyle P(W\leq k)=1-q^{k}}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
Der Erwartungswert ist
E
(
W
)
=
1
p
{\displaystyle E(W)={\frac {1}{p}}}
Die unzähligen weiteren speziellen Verteilungen können hier nicht alle aufgeführt werden, es sei auf die Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwiesen.
Unter gewissen Approximationsbedingungen können Verteilungen auch durcheinander approximiert werden um Berechnungen zu vereinfachen. Je nach Lehrbuch können die Approximationsbedingungen etwas unterschiedlich sein.
Nach
Von
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle B(n,p)}
P
o
(
λ
)
{\displaystyle Po(\lambda )}
N
(
μ
,
σ
)
{\displaystyle N(\mu ,\sigma )}
Diskrete Verteilungen
Binomialverteilung
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle B(n,p)}
--
n
>
10
,
p
<
0
,
05
{\displaystyle n>10,p<0{,}05}
λ
:=
n
p
{\displaystyle \lambda :=np}
n
p
(
1
−
p
)
≥
9
{\displaystyle np(1-p)\geq 9}
μ
:=
n
p
,
σ
2
:=
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle \mu :=np,\sigma ^{2}:=np(1-p)}
Hypergeometrische Verteilung
H
y
p
(
N
,
M
,
n
)
{\displaystyle Hyp(N,M,n)}
n
N
<
0
,
05
{\displaystyle {\frac {n}{N}}<0{,}05}
p
:=
M
N
{\displaystyle p:={\frac {M}{N}}}
n
>
10
{\displaystyle n>10}
M
N
<
0
,
05
{\displaystyle {\frac {M}{N}}<0{,}05}
λ
:=
n
M
N
{\displaystyle \lambda :=n{\frac {M}{N}}}
n
M
N
(
1
−
M
N
)
≥
9
{\displaystyle n{\frac {M}{N}}\left(1-{\frac {M}{N}}\right)\geq 9}
μ
:=
n
M
N
,
σ
2
:=
n
M
N
(
1
−
M
N
)
N
−
n
N
−
1
{\displaystyle \mu :=n{\frac {M}{N}},\sigma ^{2}:=n{\frac {M}{N}}\left(1-{\frac {M}{N}}\right){\frac {N-n}{N-1}}}
Poisson-Verteilung
P
o
(
λ
)
{\displaystyle Po(\lambda )}
--
λ
>
9
{\displaystyle \lambda >9}
μ
:=
λ
,
σ
2
:=
λ
{\displaystyle \mu :=\lambda ,\sigma ^{2}:=\lambda }
Stetige Verteilungen
Chi-Quadrat-Verteilung
χ
n
2
{\displaystyle \chi _{n}^{2}}
n
>
30
{\displaystyle n>30}
μ
:=
n
,
σ
2
:=
2
n
{\displaystyle \mu :=n,\sigma ^{2}:=2n}
Studentsche t-Verteilung
t
n
{\displaystyle t_{n}}
n
>
30
{\displaystyle n>30}
μ
:=
0
,
σ
2
:=
1
{\displaystyle \mu :=0,\sigma ^{2}:=1}
Normalverteilung
N
(
μ
,
σ
)
{\displaystyle N(\mu ,\sigma )}
--
Bei dem Übergang von einer diskreten Verteilung zu einer stetigen Verteilung kommt auch noch eine Stetigkeitskorrektur (wenn
σ
2
≤
9
{\displaystyle \sigma ^{2}\leq 9}
n
≤
60
{\displaystyle n\leq 60}
P
(
a
≤
X
diskret
≤
b
)
≈
P
(
a
−
0
,
5
≤
X
stetig
≤
b
+
0
,
5
)
{\displaystyle P(a\leq X_{\text{diskret}}\leq b)\approx P(a-0{,}5\leq X_{\text{stetig}}\leq b+0{,}5)}
P
(
X
diskret
=
a
)
≈
P
(
a
−
0
,
5
≤
X
stetig
≤
a
+
0
,
5
)
{\displaystyle P(X_{\text{diskret}}=a)\approx P(a-0{,}5\leq X_{\text{stetig}}\leq a+0{,}5)}
[ 1]
Das
α
{\displaystyle \alpha }
Wahrscheinlichkeitsverteilung für den gilt:
F
(
x
α
)
=
α
{\displaystyle F(x_{\alpha })=\alpha }
z
α
{\displaystyle z_{\alpha }}
z
(
α
)
{\displaystyle z(\alpha )}
Standardnormalverteilung
t
α
,
ν
{\displaystyle t_{\alpha ,\nu }}
t
(
α
,
ν
)
{\displaystyle t(\alpha ,\nu )}
t-Verteilung mit
ν
{\displaystyle \nu }
Freiheitsgraden
χ
α
,
ν
2
{\displaystyle \chi _{\alpha ,\nu }^{2}}
χ
2
(
α
,
ν
)
{\displaystyle \chi ^{2}(\alpha ,\nu )}
Chi-Quadrat-Verteilung mit
ν
{\displaystyle \nu }
F
α
,
ν
1
,
ν
2
{\displaystyle F_{\alpha ,\nu _{1},\nu _{2}}}
F
(
α
,
ν
1
,
ν
2
)
{\displaystyle F(\alpha ,\nu _{1},\nu _{2})}
F-Verteilung mit
ν
1
{\displaystyle \nu _{1}}
ν
2
{\displaystyle \nu _{2}}
Arithmetisches Mittel:
x
¯
=
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}
Median
Modus
empirische Varianz :
s
2
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
¯
)
2
=
1
n
(
∑
i
=
1
n
x
i
2
)
−
x
¯
2
{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-{\bar {x}}^{2}}
empirische Standardabweichung :
s
=
s
2
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
¯
)
2
{\displaystyle s={\sqrt {s^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}}
Empirische Kovarianz :
s
x
y
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
¯
)
(
y
i
−
y
¯
)
=
1
n
(
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
)
−
x
¯
y
¯
,
{\displaystyle s_{xy}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)-{\bar {x}}{\bar {y}},}
Empirischer Korrelationskoeffizient :
r
x
y
=
s
x
y
s
x
⋅
s
y
=
∑
(
x
i
−
x
¯
)
(
y
i
−
y
¯
)
∑
(
x
i
−
x
¯
)
2
∑
(
y
i
−
y
¯
)
2
{\displaystyle r_{xy}={\frac {s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}}}={\frac {\sum (x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sqrt {\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}\sum (y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}
Gleichung der Regressionsgeraden einer linearen Einfachregression :
y
=
a
x
+
b
{\displaystyle y=ax+b}
a
=
s
x
y
s
x
2
=
∑
(
x
i
−
x
¯
)
(
y
i
−
y
¯
)
∑
(
x
i
−
x
¯
)
2
{\displaystyle a={\frac {s_{xy}}{s_{x}^{2}}}={\frac {\sum (x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}
b
=
y
¯
−
a
x
¯
{\displaystyle b={\bar {y}}-a{\bar {x}}}
wobei
x
¯
{\displaystyle {\bar {x}}}
y
¯
{\displaystyle {\bar {y}}}
Mittelwert
Zwei Zahlen
Allgemein
Modus
Ausprägung mit höchster Häufigkeit
Median (Zentralwert)
Sofern
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}
x
¯
m
e
d
=
{
x
(
n
+
1
2
)
,
n
ungerade,
1
2
(
x
(
n
2
)
+
x
(
n
2
+
1
)
)
,
n
gerade.
{\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {med} }={\begin{cases}x_{({\frac {n+1}{2}})},&n{\text{ ungerade,}}\\{\frac {1}{2}}\left(x_{({\frac {n}{2}})}+x_{({{\frac {n}{2}}+1})}\right),&n{\text{ gerade.}}\end{cases}}}
Arithmetisches Mittel
a
+
b
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}
x
¯
a
r
i
t
h
m
=
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
{\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}}{n}}}
Geometrisches Mittel
a
b
{\displaystyle {\sqrt {ab}}}
x
¯
g
e
o
m
=
∏
i
=
1
n
x
i
n
=
x
1
⋅
x
2
⋯
x
n
n
{\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {geom} }={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsm x_{n}}}}
Harmonisches Mittel
2
1
a
+
1
b
{\displaystyle {\frac {2}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}}
x
¯
h
a
r
m
=
n
∑
i
=
1
n
1
x
i
=
n
1
x
1
+
1
x
2
+
⋯
+
1
x
n
{\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {harm} }={\frac {n}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\dotsb +{\frac {1}{x_{n}}}}}}
Quadratisches Mittel
a
2
+
b
2
2
{\displaystyle {\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}}
x
¯
q
u
a
d
r
=
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
2
=
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
n
2
n
{\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}}={\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}} \over n}}}
Im Allgemeinen werden in der Statistik unbekannte Parameter der Grundgesamtheit oder eines Modells mit griechischen Buchstaben (z. B.
θ
,
β
{\displaystyle \theta ,\beta }
Das arithmetische Mittel in der Grundgesamtheit:
μ
{\displaystyle \mu }
Die Varianz in der Grundgesamtheit:
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
Den Anteilswert einer dichotomen Variablen in der Grundgesamtheit:
π
{\displaystyle \pi }
Der Achsenabschnitt
β
0
{\displaystyle \beta _{0}}
β
1
{\displaystyle \beta _{1}}
Y
i
=
β
0
+
β
1
x
i
+
U
i
{\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+U_{i}}
Eine Schätzfunktion für einen unbekannten Parameter wird häufig durch einen Großbuchstaben der Parameterbezeichnung aus der beschreibenden Statistik bezeichnet. Die Schätzfunktion ergibt sich aus den Stichprobenvariablen
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
↑ Yates, F. (1934). Contingency Tables Involving Small Numbers and the χ2 Test . Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society 1(2): 217–235. JSTOR Archive for the journal
![{\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {geom} }={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsm x_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310151dbcd47d1b70b06637dd2a2f064768ebf10)
![{\displaystyle [{\bar {X}}-z_{1-\alpha /2}\sigma /{\sqrt {n}};{\bar {X}}+z_{1-\alpha /2}\sigma /{\sqrt {n}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6fdd81277f51d0722ea08a2bc7dcf78554552d)
![{\displaystyle [{\bar {X}}-t_{n-1;1-\alpha /2}S/{\sqrt {n}};{\bar {X}}+t_{n-1;1-\alpha /2}S/{\sqrt {n}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac44b757bf7d9a922969436e6fb798bd108cfd5a)
![{\displaystyle \left[\Pi -z_{1-\alpha /2}{\sqrt {\tfrac {\pi (1-\pi )}{n}}};\Pi +z_{1-\alpha /2}{\sqrt {\tfrac {\pi (1-\pi )}{n}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1351b3a822ed0a043dd71213ded1da360593193)
![{\displaystyle \left[\Pi -z_{1-\alpha /2}{\sqrt {{\tfrac {\pi (1-\pi )}{n}}{\tfrac {N-n}{N-1}}}};\Pi +z_{1-\alpha /2}{\sqrt {{\tfrac {\pi (1-\pi )}{n}}{\tfrac {N-n}{N-1}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a7d4b1213af313ef3cc3b7a62a0ea6293de39b5)