Dichtefunktion der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
Verteilungsfunktion der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
Eine stetige Zufallsvariable genügt der F-Verteilung
F
(
m
,
n
)
{\displaystyle F(m,n)}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
f
(
x
∣
m
,
n
)
=
m
m
2
n
n
2
⋅
Γ
(
m
+
n
2
)
Γ
(
m
2
)
Γ
(
n
2
)
⋅
x
m
2
−
1
(
m
x
+
n
)
m
+
n
2
,
x
>
0
{\displaystyle f(x\mid m,n)=m^{\frac {m}{2}}n^{\frac {n}{2}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {m+n}{2}})}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\cdot {\frac {x^{{\frac {m}{2}}-1}}{(mx+n)^{\frac {m+n}{2}}}},\quad x>0}
besitzt. Dabei ist mit
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)}
Gammafunktion an der Stelle
x
{\displaystyle x}
Den historischen Ursprung obiger Definition der F-Verteilung bildet die Verteilung
F
m
,
n
=
χ
m
2
/
m
χ
n
2
/
n
,
{\displaystyle F_{m,n}={\frac {\chi _{m}^{2}/m}{\chi _{n}^{2}/n}},}
wobei
χ
m
2
{\displaystyle \chi _{m}^{2}}
χ
n
2
{\displaystyle \chi _{n}^{2}}
Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariablen mit
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
Der Erwartungswert existiert nur für
n
>
2
{\displaystyle n>2}
E
(
F
m
,
n
)
=
n
n
−
2
{\displaystyle \operatorname {E} (F_{m,n})={\frac {n}{n-2}}}
Die Varianz ist nur für
n
>
4
{\displaystyle n>4}
Var
(
F
m
,
n
)
=
2
n
2
(
m
+
n
−
2
)
m
(
n
−
2
)
2
(
n
−
4
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (F_{m,n})={\frac {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}}
Die Werte der Verteilung
P
(
X
≤
x
)
=
F
(
x
|
m
;
n
)
{\displaystyle P(X\leq x)=F(x|m;n)}
numerisch ermittelt und in einer Tabelle angegeben. Eine komplette Tabellierung bezüglich aller Freiheitsgrade ist i. A. nicht notwendig, sodass die meisten Verteilungstabellen die Quantile bezüglich ausgewählter Freiheitsgrade und Wahrscheinlichkeiten angeben. Man macht sich hier auch die Beziehung zunutze:
F
−
1
(
p
;
m
;
n
)
=
1
F
−
1
(
1
−
p
;
n
;
m
)
,
{\displaystyle F^{-1}(p;m;n)={\frac {1}{F^{-1}(1-p;n;m)}},}
wobei
F
−
1
(
p
;
m
;
n
)
{\displaystyle F^{-1}(p;m;n)}
p
{\displaystyle p}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
Die F-Verteilung lässt sich geschlossen ausdrücken als
F
(
x
|
m
;
n
)
=
I
(
m
⋅
x
m
⋅
x
+
n
,
m
2
,
n
2
)
,
{\displaystyle F(x|m;n)=I\left({\frac {m\cdot x}{m\cdot x+n}},{\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}\right),}
wobei
I
(
z
,
a
,
b
)
=
1
B
(
a
,
b
)
⋅
∫
0
z
t
a
−
1
(
1
−
t
)
b
−
1
d
t
{\displaystyle I(z,a,b)={\frac {1}{B(a,b)}}\cdot \int _{0}^{z}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\mathrm {d} t}
Betafunktion darstellt.
Für
m
>
2
{\displaystyle m>2}
f
{\displaystyle f}
x
m
a
x
=
n
(
m
−
2
)
m
(
n
+
2
)
{\displaystyle x_{\mathrm {max} }={\frac {n(m-2)}{m(n+2)}}}
das Maximum an.
Die Entropie der F-Verteilung (ausgedrückt in nats ) beträgt
H
(
X
)
=
ln
(
n
m
⋅
Γ
(
m
2
)
Γ
(
n
2
)
Γ
(
m
2
+
n
2
)
)
+
(
1
−
m
2
)
ψ
(
m
2
)
−
(
1
+
n
2
)
ψ
(
n
2
)
+
m
+
n
2
ψ
(
m
+
n
2
)
,
{\displaystyle H(X)=\ln \left({\frac {n}{m}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)}}\right)+\left(1-{\frac {m}{2}}\right)\psi \left({\frac {m}{2}}\right)-\left(1+{\frac {n}{2}}\right)\psi \left({\frac {n}{2}}\right)+{\frac {m+n}{2}}\psi \left({\frac {m+n}{2}}\right),}
wobei
ψ
{\displaystyle \psi }
Digamma-Funktion bezeichnet.
Das Zeichen
∼
{\displaystyle \sim }
Die Zufallsvariable
Y
=
m
n
F
m
,
n
1
+
m
n
F
m
,
n
{\displaystyle Y={\frac {{\frac {m}{n}}F_{m,n}}{1+{\frac {m}{n}}F_{m,n}}}}
ist betaverteilt mit Parametern
m
/
2
{\displaystyle m/2}
n
/
2
{\displaystyle n/2}
(
Y
∼
Beta
(
m
/
2
,
n
/
2
)
)
.
{\displaystyle \left(Y\sim \operatorname {Beta} (m/2,n/2)\right).}
Y
∼
χ
m
2
χ
m
2
+
χ
n
2
{\displaystyle Y\sim {\frac {\chi _{m}^{2}}{\chi _{m}^{2}+\chi _{n}^{2}}}}
wobei
χ
m
2
{\displaystyle \chi _{m}^{2}}
χ
n
2
{\displaystyle \chi _{n}^{2}}
Chi-Quadrat-verteilte Zufallsgrößen sind mit
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
Aus den unabhängigen
χ
m
2
{\displaystyle \chi _{m}^{2}}
χ
n
2
{\displaystyle \chi _{n}^{2}}
Chi-Quadrat-verteilten Zufallsgrößen mit
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
F
m
,
n
=
χ
m
2
/
m
χ
n
2
/
n
{\displaystyle F_{m,n}={\frac {\chi _{m}^{2}/m}{\chi _{n}^{2}/n}}}
konstruieren. Diese Zufallsvariable ist
F
(
m
,
n
)
{\displaystyle F(m,n)}
Beziehung zur nichtzentralen F-Verteilung
Bearbeiten
Für unabhängige Zufallsvariablen
X
∼
χ
2
(
δ
,
m
)
{\displaystyle X\sim \chi ^{2}(\delta ,m)}
Y
∼
χ
2
(
n
)
{\displaystyle Y\sim \chi ^{2}(n)}
Z
=
X
/
m
Y
/
n
{\displaystyle Z={\frac {X/m}{Y/n}}}
verteilt nach der nichtzentralen F-Verteilung
Z
∼
F
(
δ
,
m
,
n
)
{\displaystyle Z\sim F(\delta ,m,n)}
δ
{\displaystyle \delta }
χ
2
(
δ
,
m
)
{\displaystyle \chi ^{2}(\delta ,\,m)}
nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung mit Nichtzentralitäts-Parameter
δ
{\displaystyle \delta }
m
{\displaystyle m}
δ
=
0
{\displaystyle \delta =0}
F
(
m
,
n
)
{\displaystyle F(m,\,n)}
g
(
z
|
m
,
n
,
δ
)
=
f
(
z
|
m
,
n
)
⋅
e
−
δ
/
2
1
F
1
(
m
+
n
2
,
m
2
,
m
⋅
z
⋅
δ
2
(
m
⋅
z
+
n
)
)
.
{\displaystyle g(z|m,n,\delta )=f(z|m,n)\cdot e^{-\delta /2}{}_{1}{\mathcal {F}}_{1}\left({\frac {m+n}{2}},{\frac {m}{2}},{\frac {m\cdot z\cdot \delta }{2(m\cdot z+n)}}\right).}
[ 2] Die Funktion
1
F
1
(
a
,
b
,
x
)
{\displaystyle {}_{1}{\mathcal {F}}_{1}(a,b,x)}
hypergeometrische Funktion , auch Kummersche Funktion genannt und
f
(
x
|
m
,
n
)
{\displaystyle f(x|m,n)}
oben angegebene Dichte der zentralen F-Verteilung.
Erwartungswert und Varianz der nichtzentralen F-Verteilung sind gegeben durch
n
(
1
+
δ
/
m
)
n
−
2
{\displaystyle {\frac {n(1+\delta /m)}{n-2}}}
n
>
2
{\displaystyle n>2}
und
2
n
2
(
m
(
1
+
δ
/
m
)
2
+
(
n
−
2
)
(
1
+
2
δ
/
m
)
)
m
(
n
−
2
)
2
(
n
−
4
)
{\displaystyle {\frac {2n^{2}(m(1+\delta /m)^{2}+(n-2)(1+2\delta /m))}{m(n-2)^{2}(n-4)}}}
n
>
4.
{\displaystyle n>4.}
Beide ergeben bei
δ
→
0
{\displaystyle \delta \to 0}
Wenn die unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen
X
1
,
X
2
,
…
,
X
m
,
Y
1
,
Y
2
,
…
,
Y
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{m},Y_{1},Y_{2},\dotsc ,Y_{n}}
E
(
X
i
)
=
μ
,
Var
(
X
i
)
=
σ
2
{\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})=\mu ,\quad \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}}
E
(
Y
j
)
=
ν
,
Var
(
Y
j
)
=
τ
2
{\displaystyle \operatorname {E} (Y_{j})=\nu ,\quad \operatorname {Var} (Y_{j})=\tau ^{2}}
besitzen, sind die jeweiligen Stichprobenvarianzen
S
X
2
{\displaystyle S_{X}^{2}}
S
Y
2
{\displaystyle S_{Y}^{2}}
gilt :
S
X
2
σ
2
∼
χ
m
−
1
2
/
(
m
−
1
)
{\displaystyle {\frac {S_{X}^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{m-1}^{2}/(m-1)}
S
Y
2
τ
2
∼
χ
n
−
1
2
/
(
n
−
1
)
{\displaystyle {\frac {S_{Y}^{2}}{\tau ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}/(n-1)}
Deshalb unterliegt die Zufallsvariable
F
=
S
X
2
/
σ
2
S
Y
2
/
τ
2
{\displaystyle F={\frac {S_{X}^{2}/\sigma ^{2}}{S_{Y}^{2}/\tau ^{2}}}}
einer F-Verteilung mit
m
−
1
{\displaystyle m-1}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
Beziehung zur Studentschen t-Verteilung
Bearbeiten
Wenn
X
∼
t
n
{\displaystyle X\sim t_{n}}
Studentsche t-Verteilung ), dann ist
X
2
∼
F
(
1
,
n
)
.
{\displaystyle X^{2}\sim F(1,n).}
Das Quadrat einer t-verteilten Zufallsvariablen mit
n
{\displaystyle n}
m
=
1
{\displaystyle m=1}
n
{\displaystyle n}
Die Wahrscheinlichkeitsdichte der F-Verteilung lässt sich herleiten (vgl. Herleitung der Dichte der Studentschen t-Verteilung ) aus der gemeinsamen Dichte der beiden unabhängigen Zufallsvariablen
χ
m
2
{\displaystyle \chi _{m}^{2}}
χ
n
2
{\displaystyle \chi _{n}^{2}}
[ 3]
g
χ
m
2
,
χ
n
2
(
x
,
y
)
=
(
1
2
m
2
Γ
(
m
2
)
x
m
2
−
1
exp
{
−
x
2
}
)
⋅
(
1
2
n
2
Γ
(
n
2
)
y
n
2
−
1
exp
{
−
y
2
}
)
{\displaystyle g_{\chi _{m}^{2},\chi _{n}^{2}}(x,y)=\left({\frac {1}{2^{\frac {m}{2}}\Gamma ({\tfrac {m}{2}})}}x^{{\frac {m}{2}}-1}\operatorname {exp} \left\{-{\frac {x}{2}}\right\}\right)\cdot \left({\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\tfrac {n}{2}})}}y^{{\frac {n}{2}}-1}\operatorname {exp} \left\{-{\frac {y}{2}}\right\}\right)}
Mit der Transformation
f
=
x
/
m
y
/
n
,
v
=
y
{\displaystyle f={\frac {x/m}{y/n}},v=y}
bekommt man die gemeinsame Dichte von
F
=
χ
m
2
/
m
χ
n
2
/
n
{\displaystyle F={\frac {\chi _{m}^{2}/m}{\chi _{n}^{2}/n}}}
χ
n
2
{\displaystyle \chi _{n}^{2}}
f
≥
0
{\displaystyle f\geq 0}
v
≥
0
{\displaystyle v\geq 0}
Die Jacobideterminante dieser Transformation ist:
det
∂
(
x
,
y
)
∂
(
f
,
v
)
=
|
m
n
v
0
◊
1
|
=
m
n
v
{\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (f,v)}}={\begin{vmatrix}{\frac {m}{n}}v&0\\\Diamond &1\end{vmatrix}}={\frac {m}{n}}v}
Der Wert
◊
{\displaystyle \Diamond }
g
F
,
χ
n
2
(
f
,
v
)
=
1
2
m
2
Γ
(
m
2
)
(
f
v
m
n
)
m
2
−
1
e
−
1
2
(
f
v
m
n
)
⋅
1
2
n
2
Γ
(
n
2
)
v
n
2
−
1
e
−
1
2
v
⋅
m
n
v
.
{\displaystyle g_{F,\chi _{n}^{2}}(f,v)={\frac {1}{2^{\frac {m}{2}}\Gamma ({\frac {m}{2}})}}\left(fv\,{\frac {m}{n}}\right)^{{\frac {m}{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}(fv\,{\frac {m}{n}})}\cdot {\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}v^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}v}\cdot {\frac {m}{n}}v.}
Gesucht ist nun die Randverteilung
g
m
,
n
(
f
)
{\displaystyle g_{m,\,n}(f)}
Integral über die nicht interessierende Variable
v
{\displaystyle v}
g
m
,
n
(
f
)
=
∫
0
∞
g
F
,
χ
n
2
(
f
,
v
)
d
v
=
(
m
n
)
m
2
f
m
2
−
1
2
m
+
n
2
Γ
(
m
2
)
Γ
(
n
2
)
∫
0
∞
v
m
+
n
2
−
1
e
−
v
2
(
1
+
m
n
f
)
d
v
=
m
m
2
n
n
2
⋅
Γ
(
m
2
+
n
2
)
Γ
(
m
2
)
Γ
(
n
2
)
⋅
f
m
2
−
1
(
m
f
+
n
)
m
+
n
2
.
{\displaystyle g_{m,n}(f)=\int \limits _{0}^{\infty }g_{F,\chi _{n}^{2}}(f,v)\,dv={\frac {({\frac {m}{n}})^{\frac {m}{2}}f^{{\frac {m}{2}}-1}}{2^{\frac {m+n}{2}}\Gamma ({\frac {m}{2}})\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\int \limits _{0}^{\infty }v^{{\frac {m+n}{2}}-1}e^{-{\frac {v}{2}}(1+{\frac {m}{n}}f)}\,dv=m^{\frac {m}{2}}n^{\frac {n}{2}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {m}{2}}+{\frac {n}{2}})}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\cdot {\frac {f^{{\frac {m}{2}}-1}}{(mf+n)^{\frac {m+n}{2}}}}.}
Das
p
{\displaystyle p}
x
p
{\displaystyle x_{p}}
p
=
F
(
x
p
|
m
,
n
)
{\displaystyle p=F(x_{p}|m,\,n)}
x
p
=
n
I
−
1
(
p
,
m
2
,
n
2
)
m
(
1
−
I
−
1
(
p
,
m
2
,
n
2
)
)
{\displaystyle x_{p}={\frac {nI^{-1}(p,{\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}})}{m(1-I^{-1}(p,{\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}))}}}
mit
I
−
1
{\displaystyle I^{-1}}
x
p
{\displaystyle x_{p}}
F-Verteilungstabelle unter den Koordinaten
p
{\displaystyle p}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
Quantiltabelle der Fisher-Verteilung zu finden.
Für einige Werte
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
x
p
(
m
,
n
)
{\displaystyle x_{p}(m,\,n)}
I
(
m
x
m
x
+
n
,
m
2
,
n
2
)
{\displaystyle I({\tfrac {mx}{mx+n}},{\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})}
m
,
n
=
1
,
2
,
…
,
{\displaystyle m,n=1,2,\dotsc ,}
m
↓
,
n
→
1
2
3
4
1
tan
(
π
2
p
)
2
2
p
2
1
−
p
2
?
4
2
cos
(
2
arcsin
(
p
)
3
)
−
1
−
4
2
1
2
(
1
(
1
−
p
)
2
−
1
)
p
1
−
p
3
2
(
1
(
1
−
p
)
2
/
3
−
1
)
2
1
−
p
−
2
3
?
2
p
2
/
3
3
−
3
p
2
/
3
?
?
4
1
(
4
sin
(
arcsin
(
1
−
p
)
3
)
)
2
−
1
4
p
2
(
1
−
p
)
?
1
1
2
+
sin
(
arcsin
(
1
−
2
p
)
3
)
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{c|c|c|c|c}m\downarrow ,\,n\rightarrow &1&2&3&4\\\hline 1&\tan({\frac {\pi }{2}}p)^{2}&{\frac {2p^{2}}{1-p^{2}}}&?&{\frac {4}{2\cos({\frac {2\arcsin(p)}{3}})-1}}-4\\\hline 2&{\frac {1}{2}}({\frac {1}{(1-p)^{2}}}-1)&{\frac {p}{1-p}}&{\frac {3}{2}}({\frac {1}{(1-p)^{2/3}}}-1)&{\frac {2}{\sqrt {1-p}}}-2\\\hline 3&?&{\frac {2p^{2/3}}{3-3p^{2/3}}}&?&?\\\hline 4&{\frac {1}{(4\sin({\frac {\arcsin(1-p)}{3}}))^{2}}}-{\frac {1}{4}}&{\frac {\sqrt {p}}{2(1-{\sqrt {p}})}}&?&{\frac {1}{{\frac {1}{2}}+\sin({\frac {\arcsin(1-2p)}{3}})}}-1\\\end{array}}}
Aus der jeweils vollständigen Zeile und Spalte kann man sogar die allgemeinen Ausdrücke für höhere Indizes ablesen. Man findet:
x
p
(
2
,
n
)
=
n
2
(
1
(
1
−
p
)
2
/
n
−
1
)
{\displaystyle x_{p}(2,\,n)={\frac {n}{2}}\left({\frac {1}{(1-p)^{2/n}}}-1\right)}
x
p
(
m
,
2
)
=
2
m
(
p
2
/
m
1
−
p
2
/
m
)
{\displaystyle x_{p}(m,\,2)={\frac {2}{m}}\left({\frac {p^{2/m}}{1-p^{2/m}}}\right)}
Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: Statistik. 12. Auflage, Oldenbourg 1999, S. 156 ff., ISBN 3-486-24984-3 .
↑ P. R. Kinnear, C. D. Gray (2004): SPSS 12 MADE SIMPLE. Psychology Press. New York. S. 208–209.
↑ Eric W. Weisstein : Snedecor’s F-Distribution .MathWorld ↑ Frodesen, Skjeggestad, Tofte: Probability and Statistics in Particle Physics. Universitetsforlaget, Bergen – Oslo – Tromsø S. 145 f.
Diskrete univariate Verteilungen
Kontinuierliche univariate Verteilungen
Multivariate Verteilungen
