Zweipunktverteilung

Die Zweipunktverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist eine einfache diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auf einer zweielementigen Menge $\{a,b\}$ definiert wird. Bekanntester Spezialfall ist die Bernoulli-Verteilung, die auf $\{0,1\}$ definiert ist.

Definition

Eine Zufallsvariable $X$ auf $\{a,b\}$ mit $a<b$ heißt zweipunktverteilt, wenn

P(X=a)=1-p{\text{ und }}P(X=b)=p

ist.

Die Verteilungsfunktion ist dann

F_{X}(t)={\begin{cases}0&{\text{ falls }}t<a\\1-p&{\text{ falls }}t\in [a,b)\\1&{\text{ falls }}t\geq b\end{cases}}

Eigenschaften

Sei im Folgenden $q=1-p$ .

Erwartungswert

Der Erwartungswert einer zweipunktverteilten Zufallsgröße ist

E(X)=(1-p)\cdot a+p\cdot b=q\cdot a+p\cdot b

.

Varianz und weitere Streumaße

Für die Varianz gilt

V(X)=E\left((X-E(X))^{2}\right)=p\cdot q\cdot (b-a)^{2}

.

Demnach ist die Standardabweichung

\sigma _{X}=(b-a){\sqrt {pq}}

und der Variationskoeffizient

\operatorname {VarK} (X)={\frac {(b-a){\sqrt {pq}}}{qa+pb}}

.

Symmetrie

Ist $p={\tfrac {1}{2}}$ , so ist die Zweipunktverteilung symmetrisch um ihren Erwartungswert.

Schiefe

Die Schiefe der Zweipunktverteilung ist

\operatorname {v} (X)={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}

.

Wölbung und Exzess

Der Exzess der Zweipunktverteilung ist

\gamma (X)={\frac {1-6pq}{pq}}

und damit ist die Wölbung

\beta _{2}(X)={\frac {1-3pq}{pq}}

.

Höhere Momente

Die $k$ -ten Momente ergeben sich als

\operatorname {E} (X^{k})=qa^{k}+pb^{k}

.

Dies kann beispielsweise mit der momenterzeugenden Funktion gezeigt werden.

Modus

Der Modus der Zweipunktverteilung ist

x_{D}={\begin{cases}a&{\text{falls }}q>p\\a{\text{ und }}b&{\text{falls }}q=p\\b&{\text{falls }}q<p\end{cases}}

Median

Der Median der Zweipunktverteilung ist

{\tilde {m}}={\begin{cases}a&{\text{falls }}q\geq p\\b&{\text{falls }}q<p\end{cases}}

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Sind $a,b\in \mathbb {N} _{0}$ , so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

m_{X}(t)=qt^{a}+pt^{b}

.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist für beliebiges $a,b\in \mathbb {R}$ gegeben als

M_{X}(t)=qe^{at}+pe^{bt}

.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist für beliebiges $a,b\in \mathbb {R}$ gegeben als

\varphi _{X}(t)=qe^{iat}+pe^{ibt}

.

Konstruktion der Verteilung zu vorgegebenen Parametern

Sind Erwartungswert $m$ , Standardabweichung $s$ und Schiefe $t$ vorgegeben, erhält man wie folgt eine passende Zweipunktverteilung:

p=(1+t/{\sqrt {4+t^{2}}})/2,

q=1-p,

a=m-s\cdot {\sqrt {q/p}},

b=m+s\cdot {\sqrt {p/q}}.

Summen von zweipunktverteilten Zufallsvariablen

Die Zweipunktverteilung ist für $p\in (0,1)$ nicht reproduktiv. Das heißt, wenn $X_{1},X_{2}$ zweipunktverteilt sind, dann ist $X_{1}+X_{2}$ nicht mehr zweipunktverteilt. Einzige Ausnahme ist der degenerierte Fall mit $p=1$ (bzw. $q=1$ ). Dann handelt es sich um eine Dirac-Verteilung auf $b$ (bzw. auf $a$ ), die entsprechend reproduktiv und sogar unendlich teilbar ist.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Bernoulli-Verteilung

Eine Zweipunktverteilung auf $\{0,1\}$ ist eine Bernoulli-Verteilung.

Beziehung zur Rademacher-Verteilung

Die Rademacher-Verteilung ist eine Zweipunktverteilung mit $a=-1,b=1,p=q={\frac {1}{2}}$ .

Literatur

Thomas Mack: Versicherungsmathematik. 2. Auflage. Verlag Versicherungswirtschaft, 2002, ISBN 388487957X.
P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Zweipunktverteilung (two-point distribution), S. 526–527.

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