Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Die Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist eine matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilung, die von besonderem Interesse in der multivariaten Statistik ist. Dort hat man häufig mit Integralen über der orthogonalen Gruppe oder der Stiefel-Mannigfaltigkeit bezüglich eines invarianten Maßes zu tun. Zum Beispiel erscheint die Verteilung bei der Untersuchung der Funktionaldeterminante bei Transformationen mit orthogonalen respektive semiorthogonalen Matrizen. Die Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist das normalisierte Haar-Maß auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit.

Eine Zufallsmatrix, welche gleichverteilt über der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist, ist invariant unter der zweiseitigen Wirkung des Produktes der orthogonalen Gruppen $O(p)\times O(n)$ , das heißt $X\sim V_{1}XV_{2}$ für $V_{1}\in O(p),V_{2}\in O(n)$ .

Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Einführung

Sei $V_{p,n}:=V_{n}(\mathbb {R} ^{p})$ die Stiefel-Mannigfaltigkeit, das heißt der Raum aller orthonormalen $n$ -Rahmen in $\mathbb {R} ^{p}$ für $n\leq p$ . Wir können diese Mannigfaltigkeit auch als den Matrizenraum

V_{p,n}=\{X\in \mathbb {R} ^{p\times n}\colon X'X=I_{n},\;n\leq p\}

darstellen. Die Stiefel-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zum Quotientenraum der orthogonalen Gruppen

V_{p,n}\cong O(p)/O(p-n),

wir können beide miteinander identifizieren und im Fall $p=n$ erhalten wir gerade die orthogonale Gruppe. Die Stiefel-Mannigfaltigkeit übernimmt die linke Gruppenwirkung

X\to VX,\quad V\in O(p).

$O(p-n)$ ist eine kompakte abgeschlossene Lie-Untergruppe von $O(p)$ . Nach dem Satz von Haar existiert ein Haar-Maß auf $O(p)$ , welches wiederum ein invariantes Maß auf dem Quotientenraum $O(p)/O(p-n)$ induziert.

Herleitung des Haar-Maßes auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Sei $X\in O(p)$ , dann differenzieren wir $X'X=I_{p}$ und erhalten

dX'X+X'dX=0.

Seien $x_{1},\dots ,x_{p}$ die Spalten von $X=(x_{1},\dots ,x_{p})$ . Das äußere Produkt der superdiagonalen Elemente liefert eine Differentialform

(X'dX):=\bigwedge \limits _{1\leq i<j\leq p}x'_{i}dx_{j}=\bigwedge \limits _{1\leq i<j\leq p}(x_{1i}dx_{1j}+\cdots +x_{pi}dx_{pj}),

welche den Grad ${\tfrac {1}{2}}p(p-1)$ hat und somit maximal ist. Diese Differentialform ist invariant unter der linken und der rechten Gruppenwirkung der orthogonalen Gruppe. Integration der Differentialform liefert das entsprechende Haar-Maß der orthogonalen Gruppe.

Sei nun $X\in V_{p,n}$ ein Element der Stiefel-Mannigfaltigkeit und von der Form $X=(x_{1},\dots ,x_{n})$ . Dann wählen wir eine Matrix $X^{\perp }=(x_{n+1},\dots ,x_{p})\in \mathbb {R} ^{p\times (p-n)}$ , so dass $[X\colon X^{\perp }]=(x_{1},\dots ,x_{p})\in O(p)$ . Die induzierte Differentialform des invarianten Maßes auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist vom maximalen Grad ${\tfrac {1}{2}}n(2p-n-1)$ und gegeben durch

(X'dX):=\bigwedge \limits _{j=1}^{p-n}\bigwedge \limits _{1=i}^{n}x'_{n+j}dx_{i}\bigwedge \limits _{1\leq i<j\leq n}x'_{j}dx_{i}.

Die Differentialform hängt nicht von einer spezifischen Form von $X^{\perp }$ ab und ist wieder invariant unter linker und rechter Gruppenwirkung.^[1]

Integration des Haar-Maßes

Man kann nun zeigen, dass für das Integral des invarianten Maßes über der Stiefel-Mannigfaltigkeit folgende Rekursion

\int _{V_{p,n}}(X'dX)=A_{p}\int _{V_{p-1,n-1}}(X'dX)_{-1},\qquad A_{p}:={\frac {2\pi ^{p/2}}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}p)}}

gilt. Die Notation $(X'dX)_{-1}$ steht hier einfach für das invariante Maß auf $V_{p-1,n-1}$ .

Aus der Rekursion folgt

v(p,n):=\int _{V_{p,n}}(X'dX)={\frac {2^{n}\pi ^{pn/2}}{\Gamma _{n}({\tfrac {1}{2}}p)}},

wobei $\Gamma _{n}$ die multivariate Gammafunktion ist.^[2]

Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Die Gleichverteilung ist das eindeutige Haar-Wahrscheinlichkeitsmaß

[dX]={\frac {1}{v(p,n)}}(X'dX),

wobei

(X'dX)=\bigwedge \limits _{j=1}^{p-n}\bigwedge \limits _{1=i}^{n}x'_{n+j}dx_{i}\bigwedge \limits _{1\leq i<j\leq n}x'_{j}dx_{i}

ist und die Normalisierungskonstante

v(p,n)={\frac {2^{n}\pi ^{pn/2}}{\Gamma _{n}({\tfrac {1}{2}}p)}}

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Literatur

Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall / CRC, ISBN 1-58488-046-5.
Yasuko Chikuse: Statistics on Special Manifolds. Hrsg.: Springer (= Lecture Notes in Statistics. Band 174). New York 2003, doi:10.1007/978-0-387-21540-2.
Yasuko Chikuse: Distributions of orientations on Stiefel manifolds. In: Journal of Multivariate Analysis. Band 33, Nr. 2, 1990, S. 247–264, doi:10.1016/0047-259X(90)90049-N.
Alan Treleven James: Normal Multivariate Analysis and the Orthogonal Group. In: Ann. Math. Statist. Band 25, Nr. 1, 1954, S. 40 - 75, doi:10.1214/aoms/1177728846.
K.V. Mardia und C.G. Khatri: Uniform distribution on a Stiefel manifold. In: Journal of Multivariate Analysis. Band 7, Nr. 3, 1977, S. 468–473, doi:10.1016/0047-259X(77)90087-2.

Einzelnachweise

↑ Yasuko Chikuse: Statistics on Special Manifolds. Hrsg.: Springer (= Lecture Notes in Statistics. Band 174). New York 2003, S. 14–16, doi:10.1007/978-0-387-21540-2.
↑ ^a ^b Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall / CRC, ISBN 1-58488-046-5, S. 279–280.

[1] Yasuko Chikuse: Statistics on Special Manifolds. Hrsg.: Springer (= Lecture Notes in Statistics. Band 174). New York 2003, S. 14–16, doi:10.1007/978-0-387-21540-2.

[GuptaNagar-2] Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall / CRC, ISBN 1-58488-046-5, S. 279–280.

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