Hartman-Watson-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung benannt nach Philip Hartman und Geoffrey S. Watson

Die Hartman-Watson-Verteilung ist eine absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist nach Philip Hartman und Geoffrey S. Watson benannt. Diese stießen auf die Verteilung bei der Untersuchung der Beziehung zwischen der brownschen Bewegung auf der -Sphäre und der von-Mises-Verteilung.[1] Wichtige Arbeiten, inklusive eine explizite Form der Dichte in Integraldarstellung, stammen von Marc Yor.[2]

Die Verteilung findet Anwendung in der Finanzmathematik bei der Berechnung von Preisen von asiatischen Optionen mit dem Black-Scholes-Modell.

Hartman-Watson-Verteilung

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Definition

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Die Hartman-Watson-Verteilungen sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen  , die folgende Beziehung zur Laplace-Transformation erfüllen

 ,

wobei   die modifizierte Bessel-Funktion erster Gattung bezeichnet und wie folgt definiert ist

 

Explizite Darstellung

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Die unnormierte Dichte der Hartman-Watson-Verteilung ist

 

für  .

Sie erfüllt die Gleichung

 

Die Dichte der Hartman-Watson-Verteilung ist für   definiert und gegeben durch

 

oder ausgeschrieben

 .

Ein Satz von Yor über brownsche Exponentialfunktionale

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Von Yor ([3]) stammt nachfolgende Aussage über den Zusammenhang zwischen der unnormierten Hartman-Watson-Dichte   und brownschen Exponentialfunktionalen.

Sei   eine eindimensionale brownsche Bewegung mit Drift  , die in   beginnt, und   sei durch das Funktional

 

definiert. Dann ist die Verteilung von   für   durch

 

gegeben, wobei   und  .[4][A 1]

Einzelnachweise

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  1. Philip Hartman und Geoffrey S. Watson: Normal" Distribution Functions on Spheres and the Modified Bessel Functions. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 2, Nr. 4, 1974, S. 593 -- 607, doi:10.1214/aop/1176996606.
  2. Marc Yor: Loi de l'indice du lacet Brownien, et distribution de Hartman-Watson. In: Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw Gebiete. Band 53, 1980, S. 71–95, doi:10.1007/BF00531612.
  3. Marc Yor: On Some Exponential Functionals of Brownian Motion. In: Advances in Applied Probability. Band 24, Nr. 3, 1992, S. 509–531, doi:10.2307/1427477.
  4. Hiroyuki Matsumoto und Marc Yor: Exponential functionals of Brownian motion, I: Probability laws at fixed time. In: Institute of Mathematical Statistics and Bernoulli Society (Hrsg.): Probability Surveys. Band 2, 2005, S. 312 - 347, doi:10.1214/154957805100000159.

Bemerkungen

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  1.   ist eine andere Schreibweise für ein Wahrscheinlichkeitsmaß  .