Alpha-stabile Verteilungen

Die Familie der α-stabilen Verteilungen ist eine Verteilungsklasse von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus der Stochastik, die durch folgende definierende Eigenschaft beschrieben werden: sind $X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n},X$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, und gilt für die Summe

X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n}\sim c_{n}X

für alle

n\in \mathbb {N}

und eine Folge

(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }

,

so nennt man $X$ stabil verteilt, wobei $\sim$ als „hat dieselbe Verteilung wie“ zu lesen ist. Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl $c_{n}=n^{1/\alpha },\alpha \in (0,2]$ ist. Die reelle Zahl $\alpha$ nennt man hierbei den Formparameter. Da die Theorie der stabilen Verteilungen maßgeblich durch Paul Lévy mitgestaltet wurde, nennt man jene Verteilungen deshalb auch manchmal Lévy-stabile Verteilungen.

Beispiele

Obwohl die stabilen Verteilungen für jedes $\alpha$ des obigen Intervalls wohldefiniert sind, ist nur für wenige spezielle Werte von α die Dichte explizit gegeben:

Die Normalverteilung mit Erwartungswert 0 ist stabil mit Formparameter $\alpha =2$ , denn bekanntlich gilt

X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,n\sigma ^{2})\sim n^{1/2}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})

. Die Normalverteilung ist die einzige Verteilung mit dem Formparameter

\alpha =2

.

Die zentrierte Cauchy-Verteilung erfüllt die Gleichung

X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\sim {\rm {Cauchy}}(0,a)\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim n\,{\rm {Cauchy}}(0,a)

sie ist also stabil mit Formparameter

\alpha =1

.

Die (eigentliche) Standard-Lévy-Verteilung ist stabil mit $\alpha ={\frac {1}{2}}$ .

Eigenschaften

Dichtefunktionen α-stabiler Verteilungen für unterschiedliche Werte des Schiefeparameters

\beta

und Parameterwerte

\alpha =0.5

,

c=1

und

\mu =0

Die charakteristische Funktion einer α-stabilen Verteilung ist durch

\psi _{\alpha ,\beta ,c,\mu }(t)={\begin{cases}\exp \left(i\mu t-c|t|^{\alpha }\left(1-i\beta \tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\operatorname {sgn}(t)\right)\right)&{\text{für }}\alpha \in (0,1)\cup (1,2]\\\exp \left(i\mu t-c|t|\left(1+i\beta {\frac {2}{\pi }}\ln(|t|)\operatorname {sgn}(t)\right)\right)&{\text{für }}\alpha =1\end{cases}}

gegeben^[1]^[2] Der Parameter

\alpha \in (0,2]

heißt charakteristischer Exponent. Der Parameter

\beta \in [-1,1]

heißt Schiefeparameter. Der Parameter

c

ist positiv. Der Parameter

\mu \in \mathbb {R}

ist ein Lageparameter.

Endliche Varianz existiert nur für $\alpha =2$ . Dies folgt unmittelbar aus dem zentralen Grenzwertsatz. Für $\alpha =2$ spezialisiert sich die charakteristische Funktion zu $\exp(i\mu t-ct^{2})$ ; dies ist charakteristische Funktion einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Varianz $2c$ .
Für $1<\alpha \leq 2$ hat die Verteilung den Erwartungswert $\mu$ , für $\alpha \leq 1$ existiert kein Erwartungswert. Dies folgt mit dem Gesetz der großen Zahlen.
Alle α-stabilen Verteilungen sind unendlich teilbar und selbstähnlich („selfdecomposable“).

Analoge Konzepte für diskrete Verteilungen

Für diskrete Verteilungen gibt es den Begriff der diskret-stabilen Verteilung^[3]^[4], ein Beispiel einer solchen Verteilung ist die Poisson-Verteilung, welche bei diskret-stabilen Verteilungen einen ähnlichen Stellenwert einnimmt, wie die Normalverteilung bei Lévy-stabilen kontinuierlichen Dichten^[5].

Literatur

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Kap. 16.

Einzelnachweise

↑ Paul Embrechts, Thomas Mikosch, Claudia Klüppelberg: Modelling extremal events (= Stochastic Modelling and Applied Probability. Band 33). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1997, ISBN 3-540-60931-8, Theorem 2.2.3, S. 71, doi:10.1007/978-3-642-33483-2.
↑ Rick Durrett: Probability: Theory and Examples. 4. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2010, ISBN 978-0-521-76539-8, S. 141.
↑ F. W. Steutel, K. van Harn: Discrete analogues of self-decomposability and stability. In: The Annals of Probability. Band 7, Nr. 3, S. 893–899, doi:10.1214/aop/1176994950.
↑ Luc Devroye: A triptych of discrete distributions related to the stable law. In: Statistics and Probability Letters. Band 18, Nr. 5, S. 349–351, doi:10.1016/0167-7152(93)90027-G.
↑ Stochastic Population Processes Analysis, Approximations, Simulations, Eric Renshaw, 2015, ISBN 9780191060397, Seite 134, https://books.google.de/books?id=pqE1CgAAQBAJ&pg=PA134

[1] Paul Embrechts, Thomas Mikosch, Claudia Klüppelberg: Modelling extremal events (= Stochastic Modelling and Applied Probability. Band 33). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1997, ISBN 3-540-60931-8, Theorem 2.2.3, S. 71, doi:10.1007/978-3-642-33483-2.

[2] Rick Durrett: Probability: Theory and Examples. 4. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2010, ISBN 978-0-521-76539-8, S. 141.

[3] F. W. Steutel, K. van Harn: Discrete analogues of self-decomposability and stability. In: The Annals of Probability. Band 7, Nr. 3, S. 893–899, doi:10.1214/aop/1176994950.

[4] Luc Devroye: A triptych of discrete distributions related to the stable law. In: Statistics and Probability Letters. Band 18, Nr. 5, S. 349–351, doi:10.1016/0167-7152(93)90027-G.

[5] Stochastic Population Processes Analysis, Approximations, Simulations, Eric Renshaw, 2015, ISBN 9780191060397, Seite 134, https://books.google.de/books?id=pqE1CgAAQBAJ&pg=PA134

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