Modus (Stochastik)

Kennzahl einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Als Modus oder Modalwert bezeichnet man in der Stochastik eine Kennzahl der Verteilung einer Zufallsvariable oder eines Wahrscheinlichkeitsmaßes. Der Modus gehört zu den Lagemaßen und hat somit wie der Erwartungswert und der Median die Aufgabe, die Position einer Verteilung zu charakterisieren.

Der Modus wird über die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen oder Wahrscheinlichkeitsfunktionen einer Verteilung definiert und ist vom Modus im Sinne der deskriptiven Statistik zu unterscheiden. Dieser ist eine Kennzahl einer Stichprobe (wie das arithmetische Mittel), der Modus in der Stochastik hingegen ist eine Kennzahl einer abstrakten Mengenfunktion (wie der Erwartungswert).

Definition

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Über Wahrscheinlichkeitsdichten

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Ist eine Zufallsvariable   oder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung   mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  , so heißt   ein Modus oder Modalwert von   oder  , falls   ein lokales Maximum von   ist.[1]

Ist die Zufallsvariable   reellwertig beziehungsweise die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den reellen Zahlen definiert, so ist dies äquivalent dazu, dass es ein offenes Intervall um   gibt, so dass

 

für alle   in diesem Intervall gilt.

Über Wahrscheinlichkeitsfunktionen

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Es sei eine höchstens abzählbare Menge   gegeben, deren Elemente   in aufsteigender Ordnung sortiert sind, das heißt  . Ist dann   eine Zufallsvariable mit Werten in   und Wahrscheinlichkeitsfunktion   oder ist   eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf   mit Wahrscheinlichkeitsfunktion  , so heißt   ein Modus oder Modalwert von   oder  , wenn

 

ist.[1]

Ist spezieller   eine Zufallsvariable mit Werten in   oder   eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf  , so ist   ein Modus, wenn

 

ist.

Schwächen

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Der Modus ist als Lagemaß nicht immer unproblematisch. So kann er beispielsweise keine oder nur eine sehr geringe Aussagekraft besitzen. Betrachtet man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Exponentialverteilung mit dem Parameter  

 

so besitzt diese bei   ein globales Maximum. Damit ist die Null der eindeutige Modus der Exponentialverteilung. Jedoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner als Null zu erhalten, gleich null. Dies steht in deutlichen Widerspruch zu der zugrundeliegenden Idee eines Lagemaßes, das angeben soll, wo sich „viel Wahrscheinlichkeit“ befindet.

Ebenso muss der Modus im Allgemeinen nicht eindeutig sein (siehe unten). Im Extremfall der stetigen Gleichverteilung, welche die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  

besitzt, ist jeder Wert in dem Intervall   ein Modus.

Aufbauende Begriffe

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Verteilungen, welche nur einen Modus besitzen, werden als unimodale Verteilungen bezeichnet.[2]

Verteilungen mit mehr als einem Modus werden als multimodale Verteilungen bezeichnet und weiter nach der Anzahl ihrer Modi unterschieden.[3][4] So spricht man auch von bimodalen Verteilungen (zwei Modi) oder trimodalen Verteilungen (drei Modi).[5][6]

Abgrenzung

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Der Modus (im Sinne der Statistik) kann jeder Stichprobe zugeordnet werden, die nominal skaliert ist, deren Elemente sich also in bestimmte Kategorien gruppieren lassen. Somit ist der Modus eine Kennzahl einer Stichprobe, also einer Anordnung von Ergebnissen eines durchgeführten Zufallsexperimentes.

Der Modus (im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie) ist eine Kennzahl einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Diese ist eine Abbildung, welche speziellen Mengen eine Zahl zuordnet und ist damit von einer Stichprobe zu unterscheiden.

Die beiden Modus-Begriffe sind also verschieden, insbesondere da sie andersartigen mathematische Konstrukten Zahlen zuordnen: Einmal der Stichprobe, einmal der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Beide Begriffe lassen sich über die empirische Verteilung verknüpfen. Ist eine Stichprobe   gegeben, so entspricht der Modus der Stichprobe   dem Modus (im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie) der empirischen Verteilung von  .

Einzelnachweise

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  1. a b A.V. Prokhorov: Mode. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  2. Unimodal Distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  3. A.V. Prokhorov: Multimodal Distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  4. Eric W. Weisstein: Multimodal. In: MathWorld (englisch).
  5. Eric W. Weisstein: Trimodal. In: MathWorld (englisch).
  6. Bimodal Distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).