Formelsammlung analytische Geometrie

Dies ist eine Formelsammlung zu dem mathematischen Teilgebiet analytische Geometrie.

Vorbemerkungen zur Schreibweise

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Im Folgenden werden durchnummerierte kartesische Koordinaten   (gleichwertig zu  ),   (gleichwertig zu  ),   (gleichwertig zu  ) verwendet. Vektoren werden in Pfeilschreibweise notiert. Ortsvektoren werden mit demselben Großbuchstaben bezeichnet wie die entsprechenden Punkte. Das Skalarprodukt wird durch   ausgedrückt, das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) durch  .

Analytische Geometrie der euklidischen Ebene

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Bezeichnungen

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Im Folgenden habe der Punkt   die Koordinaten  ; die Punkte   in dieser Reihenfolge  

Punkte werden durch kartesische Koordinaten oder durch Ortsvektoren beschrieben.

Koordinatendarstellung eines Punktes

  oder  

Ortsvektor des Punktes  :

 

Verbindungsvektor zweier Punkte  :

 

Mittelpunkt der Strecke   (als Ortsvektor):

 

Teilungspunkt : Der Punkt, der die Strecke   im Verhältnis   teilt:

 

Schwerpunkt eines Dreiecks  :

 

Parametergleichung der Geraden (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt   mit dem Richtungsvektor  :

 

Der Parameter   kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und   darf nicht der Nullvektor sein.

Parametergleichung der Geraden (Zwei-Punkte-Form) durch die Punkte  :

 

Der Parameter   kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und .  und   müssen verschieden sein.

Normalengleichung der Geraden durch den Punkt   mit dem Normalenvektor   in vektorieller Schreibweise:

  bzw.  

Koordinatengleichung, explizite Form der Geraden mit der Steigung   durch den Punkt   der  -Achse:

 

Einschränkung: Die Gerade darf nicht parallel zur  -Achse sein.

Koordinatengleichung, Achsenabschnittsform der Geraden durch die Punkte   (auf der  -Achse) und   (auf der  -Achse):

 

Einschränkung: Die gegebenen Punkte dürfen nicht mit dem Ursprung übereinstimmen, d. h. es muss   und   gelten.

Abstände

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Abstand der Punkte  :

 

Abstand des Punktes   von der Geraden   mit der Normalengleichung   (siehe Hessesche Normalform):

 

Abstand zweier paralleler Geraden   und   mit den Normalengleichungen   bzw.  :

 

Projektionen

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Orthogonalprojektion eines Punkts   auf eine Gerade   in Parameterform  :

 

Orthogonalprojektion eines Punkts   auf eine Gerade   in Normalenform  :

 

Parallelprojektion in Richtung   eines Punkts   auf eine Gerade   in Normalenform  :

 

Schnittwinkel (kleinerer Winkel)   zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren   und   (vergleiche Skalarprodukt):

 

Flächen

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Fläche des Dreiecks   (siehe Kreuzprodukt):

 

Fläche des nicht überschlagenen Polygons mit den Ecken  :

 

Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten:

  • des Einheitskreises
 
  • allgemein: Mittelpunkt in  , Radius  
 

in Parameterform (allgemein):

  mit  

Gleichung des Kreises durch drei Punkte  

 

Gleichung der Kreistangente im Punkt  

  • Einheitskreis
     
  • Allgemein:
     

Schnittpunkt der Geraden   mit dem Kreis  :

 
 

Mittelpunkt   des Kreises durch drei Punkte   die nicht auf einer Geraden liegen:

 
Kegelschnitt Ellipse Hyperbel Parabel
Eigenschaften
Definition: Menge aller Punkte, für die … die Summe der Abstände zu den Brennpunkten   konstant gleich 2a ist. die Differenz der Abstände den beiden Brennpunkten konstant gleich 2a ist. der Abstand zu einem Brennpunkt und der Leitgeraden l konstant ist.
Lineare Exzentrizität     --
Koordinaten
Kartesische Koordinaten      
Achsenparallele Lage
 
     
Parameterform   mit    
 
Geraden
Tangente in        
Normale durch        
Schnittpunkt mit der Geraden    
 

 
 
 
 

 
 
 
 


 
Flächeninhalt

Ebene Kurven mit ausgezeichneter Krümmung

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Da die geometrische Form einer ebenen Kurve unter Translation und Drehung invariant bleibt, kann eine ausgezeichnete (symmetrische) Darstellung ihrer analytischen Beschreibung gewählt werden. Insbesondere ist somit jede ebene, zweimal stetig differenzierbare Kurve bereits durch Angabe ihrer Krümmung (in jedem Punkt) eindeutig beschrieben. In den folgenden Formeln sind   beliebige, aber feste Konstanten und   bezeichnet stets die Bogenlänge (bei natürlicher Parametrisierung).

Kurve Definitionsbereich analytische Funktionsgleichung Krümmung   Charakterisierung ihrer Krümmung
Gerade  

 
 

 

explizit kartesisch

explizit polar parametrisch
  null
Kreis     explizit polar   konstant
gleichseitige Hyperbel     implizit polar   umgekehrt proportional zum vorzeichenbehafteten „Abstand“
Lemniskate     implizit polar   proportional zum vorzeichenbehafteten „Abstand“
Logarithmische Spirale     explizit polar  

 
umgekehrt proportional zum Abstand

umgekehrt proportional zur Bogenlänge
Klothoide     kartesisch parametrisch   proportional zu ihrer Bogenlänge
Katenoide    

 
explizit kartesisch  

 
umgekehrt proportional zum Quadrat
ihres x-Achsenabstandes

Kreisevolvente     explizit polar parametrisch   umgekehrt proportional zur Wurzel ihrer Bogenlänge

Hier bezeichnen   und   die Fresnelschen Integrale.

Analytische Geometrie des dreidimensionalen euklidischen Raumes

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Bezeichnungen

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Im Folgenden haben die Punkte   in dieser Reihenfolge die Koordinaten  .

Punkte werden durch kartesische Koordinaten oder durch Ortsvektoren beschrieben.

Koordinatendarstellung

 

Ortsvektor

 

Verbindungsvektor zweier Punkte  :

 

Mittelpunkt der Strecke  :

 

Teilungspunkt , der die Strecke   im Verhältnis   teilt:

 

Schwerpunkt eines Dreiecks mit den Ecken  :

 

Parametergleichung einer Geraden (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt   mit dem Richtungsvektor  :

 

Der Parameter   kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und   darf nicht der Nullvektor sein.

Parametergleichung der Ebene (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt   mit den Richtungsvektoren   und  :

 

Die Parameter   und   können alle reellen Zahlen als Wert annehmen und die Vektoren   müssen linear unabhängig sein (d. h.   und   ist kein skalares Vielfaches von  )

Parametergleichung einer Ebene (Drei-Punkte-Form) durch die Punkte  :

 

Die beiden Parameter   und   können alle reellen Zahlen als Werte annehmen und die gegebenen Punkte   und   dürfen nicht auf einer Geraden liegen.

Normalengleichung der Ebene durch den Punkt   mit dem Normalenvektor   in vektorieller Schreibweise:

  bzw.  

Koordinatengleichung

  mit   nicht alle gleich 0.

Überführen der Formen ineinander

  • Parameterform in Normalenform:
     
  • Normalenform und Koordinatengleichung:
    Die Normalenform ist dasselbe wie die Koordinatengleichung, nur ein wenig anders aufgeschrieben. Explizit:   und  .
  • Von der Parameterform zur Koordinatengleichung:
      definiert drei Gleichungen; man löse eine davon nach   und eine andere nach   auf und setze dies in die verbleibende Gleichung ein.
  • Von der Koordinatengleichung zur Parameterform:
    Entweder findet man durch Ausprobieren drei nicht-kollineare Punkte in der Ebene und setzt diese in die Drei-Punkte-Form der Parametergleichung ein. Alternativ funktioniert auch folgender algorithmischer Ansatz: Da   nicht alle gleich 0 sind (sagen wir  ), lässt sich die Koordinatengleichung nach einer Koordinate auflösen und diese Koordinate ist also eine Funktion der beiden anderen:  . Man findet nun drei nicht-kollineare Punkte in der Ebene, indem man nacheinander  ,   und   einsetzt. D. h. explizit setzt man
     ,   und  
    in die Drei-Punkte-Form der Parametergleichung ein.

Abstände

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Abstand der Punkte  

 

Abstand des Punkts   von der Geraden   in Parameterform  :

 

Abstand des Punktes   von der Ebene   mit der Normalengleichung   (siehe Hessesche Normalform):

 

Abstand des Punktes   von der Ebene   in Parameterform  :

 

Abstand der parallelen Ebenen   und   mit den Normalengleichungen   bzw.  :

 

Projektionen

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Orthogonalprojektion eines Punkts   auf eine Gerade   in Parameterform  :

 

Orthogonalprojektion eines Punkts   auf eine Ebene   in Normalenform  :

 

Parallelprojektion in Richtung   eines Punkts   auf eine Ebene   in Normalenform  :

 

Schnittwinkel (kleinerer Winkel)   zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren   und  :

 

Schnittwinkel   zwischen einer Ebene mit dem Normalenvektor   und einer Geraden mit dem Richtungsvektor  :

 

Schnittwinkel   zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren   und  :

 

Volumina

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Volumen des Tetraeders   (vergleiche Spatprodukt): ( )

 

Kartesische Koordinaten

  • Einheitskugel:
     
  • Allgemein: (Mittelpunkt:  )
     

Parameterform (im Ursprung)

  mit   und  

Mittelpunkt   der Kugel durch vier Punkte   und  , die nicht in einer Ebene liegen:

 

Flächen zweiter Ordnung

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Ellipsoid mit den Halbachsen  , Mittelpunkt im Ursprung, Halbachsen parallel zur   bzw.  -Achse:

 

Hyperboloid mit Halbachsen  :

 

Paraboloid mit Scheitel im Ursprung:

 

Plus liefert ein elliptisches, minus ein hyperbolisches Paraboloid.

Kegel mit Halbachsen   der Ellipse, Spitze im Ursprung: