Fredholmsche Alternative

In der Mathematik ist die nach Erik Ivar Fredholm benannte Fredholmsche Alternative ein Resultat der Fredholmtheorie. Sie kann auf verschiedene Arten ausgedrückt werden: als Theorem der linearen Algebra, als ein Theorem über Integralgleichungen oder als ein Theorem über Fredholm-Operatoren. Insbesondere besagt es, dass eine komplexe Zahl ungleich 0 im Spektrum eines kompakten Operators ein Eigenwert ist.

Version der linearen Algebra

In einem $n$-dimensionalen Vektorraum $V$ gilt für eine lineare Abbildung $A\colon V\to V$ genau eine der folgenden Aussagen:

1. Zu jedem Vektor $v$ in $V$ gibt es einen Vektor $u$ in $V$ so, dass $Au=v$. Mit anderen Worten: $A$ ist surjektiv.
2. Es gibt ein $u\neq 0$ in $V$ mit $Au=0$, das heißt: $A$ ist nicht injektiv.

Fredholmsche Integralgleichungen

Sei $K(x,y)$ ein Integralkern. Betrachte die homogene Fredholmsche Integralgleichung,

$\lambda \phi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=0$,

sowie die inhomogene Gleichung

$\lambda \phi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=f(x)$.

Die Fredholmsche Alternative besagt nun, dass für eine komplexe Zahl $0\neq \lambda \in \mathbb {C}$, entweder die erste Gleichung eine nichttriviale Lösung hat, oder die zweite Gleichung eine Lösung für beliebige rechte Seiten $f(x)$ besitzt.

Eine hinreichende Bedingung, damit dieser Satz gilt, ist die Quadratintegrierbarkeit von $K(x,y)$ auf dem Rechteck $[a,b]\times [a,b]$ (wobei a und/oder b auch plus oder minus unendlich sein dürfen).

Fredholmsche Alternative

Aussage

Sei $K\in K(X)$ ein kompakter Operator auf $X$ und sei $\lambda \in \mathbb {C}$ mit $\lambda \neq 0$. Dann ist $Tx:=\lambda x-Kx$ ein Fredholm-Operator mit Fredholm-Index 0. Die Fredholmsche Alternative lautet nun:

• Entweder haben sowohl die homogene Gleichung

$\lambda x-Kx=0$

als auch die adjungierte Gleichung

$\lambda x'-K'x'=0$

nur die triviale Lösung Null und somit sind die inhomogenen Gleichungen

$\lambda x-Kx=y$

und

$\lambda x'-K'x'=y'$

eindeutig lösbar,

• oder die homogene Gleichung

$\lambda x-Kx=0$

und die adjungierte Gleichung

$\lambda x'-K'x'=0$

besitzen genau $n=\dim \ker(\lambda \operatorname {id} -K)<\infty$ linear unabhängige Lösungen (wobei $\operatorname {id}$ die identische Abbildung bezeichnet) und somit wäre die inhomogene Gleichung

$\lambda x-Kx=y$

genau dann lösbar, wenn $y\in (\ker(\lambda \operatorname {id} -K'))^{\bot }$ gilt.

Im Zusammenhang mit den Integralgleichungen

Beachte, dass die Delta-Distribution die Identität der Faltung ist. Sei $X$ ein Banachraum, beispielsweise $X=L^{2}([a,b])$ und sei $T\colon X\to X$ ein Fredholm-Operator, welcher durch

$T\phi (x)=\int _{a}^{b}\lambda \delta (x-y)\phi (y)-k(x,y)\phi (y)dy=\lambda \phi (x)-\int _{a}^{b}k(x,y)\phi (y)dy,$

definiert ist, wobei $k\in L^{2}([a,b])$ gelten muss, um einen Fredholm-Operator zu erhalten. Dann ist $\textstyle \int _{a}^{b}k(x,y)\phi (y)dy$ ein kompakter Operator und man sieht, dass diese Aussage die Aussage über die Fredholmschen Integralgleichungen verallgemeinert.

Die Fredholmsche Alternative kann man dann wie folgt formulieren: Ein $\lambda \neq 0$ ist entweder ein Eigenwert von $K$ oder es liegt in der Resolventenmenge

$\rho (K)=\{\lambda \in \mathbb {C} :(\lambda \operatorname {id} -K){\text{ beschränkt invertierbar}}\}$.

Literatur

• Paul Mönnig: Die praktische Auflösung der fredholm’schen Integralgleichung mit symmetrischem Produktkern, Braunschweig 1947. Reihe: Veröffentlichungen d. Math. Inst. d. Techn. Hochsch. Braunschweig, 1947,4 (nicht in DNB nachgewiesen)
• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-72533-6.