Freie Poisson-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung

In der freien Wahrscheinlichkeitstheorie ist die freie Poisson-Verteilung das Gegenstück zu der Poisson-Verteilung aus der üblichen Wahrscheinlichkeitstheorie.

Definition

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Die freie Poisson-Verteilung[1] mit Parametern   und   ergibt sich in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie als der Grenzwert der iterierten freien Faltung

 

für  .

Genauer: Seien   Zufallsvariable, so dass   den Wert   mit Wahrscheinlichkeit   und den Wert 0 mit der Wahrscheinlichkeit   annimmt. Sei weiterhin die Familie   frei unabhängig im Sinne der freien Wahrscheinlichkeitstheorie. Dann ist die Verteilung von   im Grenzwert   durch eine freie Poisson-Verteilung mit den Parametern   und   gegeben.

Diese Definition ist analog zu einem entsprechenden Grenzwertsatz für die klassische Poisson-Verteilung bezüglich der klassischen Faltung.

Explizite Form

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Explizit hat die freie Poisson-Verteilung folgende Form[2]

 

wobei

 

den Träger   hat. Ihre freien Kumulanten sind gegeben durch  .

Zusammenhang mit Zufallsmatrizen

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Die freie Poisson-Verteilung taucht in der Theorie der Zufallsmatrizen als Marchenko-Pastur-Verteilung auf.

Einzelnachweise

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  1. Lectures on the Combinatorics of Free Probability by A. Nica and R. Speicher, pp. 203–204, Cambridge Univ. Press 2006
  2. James A. Mingo, Roland Speicher: Free Probability and Random Matrices. Fields Institute Monographs, Vol. 35, Springer, New York, 2017.