Freie Poisson-Verteilung

In der freien Wahrscheinlichkeitstheorie ist die freie Poisson-Verteilung das Gegenstück zu der Poisson-Verteilung aus der üblichen Wahrscheinlichkeitstheorie.

Definition

Die freie Poisson-Verteilung mit Parametern $\alpha$ und $\lambda$ ergibt sich in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie als der Grenzwert der iterierten freien Faltung

$\left(\left(1-{\frac {\lambda }{N}}\right)\delta _{0}+{\frac {\lambda }{N}}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}$

für $N\to \infty$.

Genauer: Seien $X_{N}$ Zufallsvariable, so dass $X_{N}$ den Wert $\alpha$ mit Wahrscheinlichkeit $\lambda /N$ und den Wert 0 mit der Wahrscheinlichkeit $1-\lambda /N$ annimmt. Sei weiterhin die Familie $X_{1},X_{2},\ldots$ frei unabhängig im Sinne der freien Wahrscheinlichkeitstheorie. Dann ist die Verteilung von $X_{1}+\cdots +X_{N}$ im Grenzwert $N\to \infty$ durch eine freie Poisson-Verteilung mit den Parametern $\alpha$ und $\lambda$ gegeben.

Diese Definition ist analog zu einem entsprechenden Grenzwertsatz für die klassische Poisson-Verteilung bezüglich der klassischen Faltung.

Explizite Form

Explizit hat die freie Poisson-Verteilung folgende Form

$\mu ={\begin{cases}(1-\lambda )\delta _{0}+\nu ,&{\text{wenn }}0\leq \lambda \leq 1\\\nu ,&{\text{wenn }}\lambda >1,\end{cases}}$

wobei

$\nu ={\frac {1}{2\pi \alpha t}}{\sqrt {4\lambda \alpha ^{2}-(t-\alpha (1+\lambda ))^{2}}}\,dt$

den Träger $[\alpha (1-{\sqrt {\lambda }})^{2},\alpha (1+{\sqrt {\lambda }})^{2}]$ hat. Ihre freien Kumulanten sind gegeben durch $\kappa _{n}=\lambda \alpha ^{n}$.

Zusammenhang mit Zufallsmatrizen

Die freie Poisson-Verteilung taucht in der Theorie der Zufallsmatrizen als Marchenko-Pastur-Verteilung auf.