Die Frobenius-Normalform (nach Ferdinand Georg Frobenius) oder rationale Normalform einer quadratischen Matrix mit Einträgen in einem beliebigen Körper ist eine transformierte Matrix (mit invertierbarer Matrix ), die eine spezielle übersichtliche Form hat. „Übersichtlich“ deswegen, weil sich jede Matrix in genau eine Matrix dieser Form transformieren lässt und sich zwei Matrizen daher genau dann ineinander transformieren lassen, wenn sie dieselbe Frobenius-Normalform haben. Wenn das der Fall ist, sagt man auch, die zwei Matrizen seien sich ähnlich, weil sie dieselbe lineare Abbildung bezüglich unterschiedlicher Basen darstellen. Zu jeder linearen Abbildung eines endlichdimensionalen Vektorraums in sich gibt es daher eine Basis, bezüglich welcher sie in Frobenius-Normalform dargestellt wird. Es kann mehrere solche Basen geben, die Transformationsmatrix ist also nicht eindeutig bestimmt.

Die Frobenius-Normalform lässt sich einerseits als Alternative zur jordanschen Normalform auffassen (die ihrerseits eine Verallgemeinerung der Diagonalform ist), wobei nicht mehr vorausgesetzt werden muss, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Andererseits charakterisiert das Lemma von Frobenius zueinander ähnliche Matrizen durch die Elementarteiler ihrer charakteristischen Matrizen und liefert die Frobenius-Normalform als Normalform des Vektorraums unter der Operation eines Polynomrings.

Verallgemeinerung der Diagonalisierung

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Wenn eine Matrix   diagonalisierbar ist, zerfällt ihr charakteristisches Polynom   in lauter Linearfaktoren   mit Eigenwerten  . Die zugehörigen Eigenvektoren   mit   bilden eine Basis des Vektorraums  , in der jeder Basisvektor durch   auf ein Vielfaches von sich abgebildet wird.

Bei einer nicht diagonalisierbaren Matrix   sind nicht genügend Eigenvektoren für eine Basis vorhanden, oder das charakteristische Polynom   zerfällt in irreduzible Faktoren  , die nicht alle Grad 1 haben. Zur Ermittlung der Frobenius-Normalform von   wird dann analog zum letzten Absatz eine Basis aus Vektoren gesucht, die von bestimmten Produkten der irreduziblen Faktoren   etc. zu null gemacht werden. Es zeigt sich, dass dies möglich ist und man schließlich eine Darstellung   erhält, in der   Teiler von   ist,   Teiler von   usw. Zum Faktor   gehören dabei die Basisvektoren  , deren Teilraum wegen   von   in sich abgebildet wird und auf dem   bezüglich dieser Basisvektoren durch die Matrix

 

dargestellt wird (die nicht angegebenen Einträge in dieser sog. Begleitmatrix zum Polynom   sind 0). Der gesamte Vektorraum   zerfällt in solche  -invarianten Teilräume, und   lässt sich insgesamt durch die Blockdiagonalmatrix

 

darstellen. Sie ist die Frobenius-Normalform von  .

Ein Nachteil dabei ist, dass die Frobenius-Normalform einer Diagonalmatrix mit Eigenwerten 1 und 2 nicht Diagonalform hat, sondern

 

ist. Abhilfe schafft hier die Weierstraß-Normalform, in der die Begleitmatrix   in der Blockdiagonalmatrix ersetzt wird durch die Begleitmatrizen der Potenzen verschiedener irreduzibler Faktoren von  , also etwa durch

 

falls   mit  . Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn alle diese Faktoren linear sind und keiner in zweiter oder höherer Potenz vorkommt; also ist dann auch ihre Weierstraß-Normalform eine Diagonalmatrix.

Lemma von Frobenius

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Die Menge aller Polynome, das sind Ausdrücke der Form  , mit Koeffizienten  , bildet einen Ring, den sog. Polynomring  . Wenn eine Matrix   vorgegeben ist, kann man ein Produkt aus Polynom   und Vektor   definieren durch  , für das die erwarteten Assoziativ- und Distributivgesetze gelten. Man spricht von einer Operation des Polynomrings auf dem Vektorraum, durch die der Vektorraum   zu einem  -Modul   wird.

Nach Wahl einer Basis   von   kann man einen  -Modul-Isomorphismus   angeben. Sein Definitionsbereich ist der Faktormodul von   modulo  , wobei der Ausdruck in spitzen Klammern (in einer ad hoc gewählten Notation) das Erzeugnis der Spalten der charakteristischen Matrix   bezeichnet. Dieser Isomorphismus überträgt die Operation des Polynomrings, d. h.,   für  ,  , und er ist definiert durch

 

Die charakteristische Matrix   mit Einträgen im Polynomring kann durch den Elementarteileralgorithmus in eine Matrix

 

mit invertierbaren   überführt werden, wobei   Teiler von   ist,   Teiler von   usw., und die Polynome   führenden Koeffizienten 1 haben. Diese Polynome heißen die Invariantenteiler der charakteristischen Matrix, die Potenzen der irreduziblen Faktoren der   heißen Elementarteiler, und   ist das charakteristische Polynom von  , denn   (die Determinante der charakteristischen Matrix ändert sich nicht bei Multiplikation mit den invertierbaren   und  ).   ist das Minimalpolynom von  .

Wegen der Invertierbarkeit von   und   ist der  -Modul   nun nicht nur isomorph (nämlich durch  ) zu  , sondern auch isomorph zu  . Dieser Faktormodul zerfällt als direkte Summe  ; siehe auch den Satz über invariante Faktoren in endlich erzeugten Moduln über einem Hauptidealring. Die Operation des Polynoms   auf dem direkten Summanden   wird durch die Begleitmatrix   dargestellt, wenn eine Basis   wie im vorigen Abschnitt gewählt wird, und für die Operation von   bzw.   auf dem ganzen Modul   ergibt sich eine Darstellung durch die Frobenius-Normalform.

Ist eine weitere Matrix   gegeben, so macht diese   zu einem weiteren  -Modul  . Ein Isomorphismus   muss die Operation von   übertragen, also  , was bedeutet, dass   durch die Matrix von   bzgl. der gewählten Basis   in   transformiert wird. Ähnlichkeit von Matrizen   und   ist demnach gleichbedeutend mit Isomorphie der zugehörigen  -Moduln   und  ; und deren oben besprochene Zerlegung in invariante Faktoren hat gezeigt, dass diese Isomorphie genau dann vorliegt, wenn die charakteristischen Matrizen   und   dieselben Elementarteiler haben. Diese Aussage ist als Lemma von Frobenius bekannt.

Als weitere Folgerung aus dem Gezeigten ergibt sich der Satz von Cayley-Hamilton: Die Operation des charakteristischen Polynoms   macht alle direkten Summanden   zu null, weil alle   Teiler von   sind. Deswegen gilt  , d. h. jede quadratische Matrix ist Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms.

Literatur

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  • Falko Lorenz: Lineare Algebra II, 3. Auflage