Satz von Cayley-Hamilton

mathematischer Satz

Der Satz von Cayley-Hamilton (nach Arthur Cayley und William Rowan Hamilton) ist ein Satz aus der linearen Algebra. Er besagt, dass jede quadratische Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms ist.

Hintergrund

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Sei   ein Körper, beispielsweise der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen. Für eine gegebene natürliche Zahl   lassen sich die quadratischen  -Matrizen mit Einträgen aus   untereinander durch die Rechenoperationen Matrizenaddition, Matrizenmultiplikation und Skalarmultiplikation (elementweise Multiplikation mit Elementen des Körpers  ) miteinander verknüpfen. Unter diesen Rechenoperationen bilden diese Matrizen eine assoziative und unitäre Algebra über  , mit der Einheitsmatrix als Einselement.

Sei   ein Vektorraum über einem Körper   mit der Dimension  . Durch die Wahl einer Basis lassen sich die Endomorphismen von   (die  -linearen Abbildungen von   nach  ) mit den quadratischen  -Matrizen mit Einträgen aus   identifizieren. Die Endomorphismen werden dabei auf die jeweiligen Abbildungsmatrizen abgebildet. Die Multiplikation zweier Matrizen entspricht dabei der Hintereinanderausführung der entsprechenden Endomorphismen, die Einheitsmatrix entspricht der identischen Abbildung, und die Endomorphismen von   bilden somit wie die Abbildungsmatrizen ebenfalls eine assoziative und unitäre Algebra.

Für einen Körper   bezeichnet   den Ring der Polynome mit Koeffizienten aus   und der Variablen  . Jedes solche Polynom

 

mit

 

definiert zu einer gegebenen unitären assoziativen Algebra über   eine Abbildung der Algebra in sich selbst, indem man jeweils ein gegebenes Algebraelement   in das Polynom einsetzt und dann die im Polynom erscheinenden Operationen durch die entsprechenden Operationen der Algebra ersetzt,

 

Im Falle der Algebra der  -Matrizen mit Einträgen aus   werden dabei insbesondere die in   erscheinenden Potenzen von   durch entsprechende Matrixpotenzen von   ersetzt, mit   gleich der  -Einheitsmatrix.

Satz von Cayley-Hamilton

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Sei   ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper  , sei   ein Endomorphismus von  , und sei   das charakteristische Polynom von  . Der Satz von Cayley-Hamilton besagt nun, dass   (also   angewendet auf   selbst) die Nullabbildung auf   ist, d. h. diejenige lineare Abbildung auf  , die alle Elemente von   auf den Nullvektor von   abbildet.

Insbesondere gilt für jede Matrix  

 .

Hierbei ist   die Nullmatrix in  .

Hintergrund: Die Aussage des Satzes von Cayley-Hamilton ist also keineswegs trivial, wie es folgende fehlerhafte Gleichung suggerieren möchte (hier nur für Darstellungsmatrix   formuliert, aber genau so fehlerhaft auch für Abbildung   notierbar):
 .
Beim Gleichheitszeichen   wird die Falle aufgestellt: An die Stelle der Unbekannten   tritt die Matrix (oder die lineare Abbildung selbst). Wie ist aber die unmittelbar folgende Multiplikation (mit der Einsmatrix bzw. der identischen Abbildung) zu verstehen? Beim Gleichheitszeichen   schnappt die Falle zu: Die Multiplikation wird als Matrizenmultiplikation (bzw. Komposition von Abbildungen) verstanden, so dass sich infolgedessen als Argument für die Determinante insgesamt die Nullmatrix einstellt, deren Determinante die Zahl   liefert. In der Aussage des Satzes hingegen ist das Argument der Determinante ein Polynom in der Unbekannten   vom Grade  , ein nicht verschwindendes Polynom also. Die Aussage ist: Wenn in dieses Polynom die Matrix (bzw. die Abbildung) an die Stelle der Unbekannten tritt, so ergibt sich die Nullmatrix (bzw. Nullabbildung). Gerechnet wird dabei im nicht kommutativen Ring der Matrizen bzw. der Endomorphismen, wie es der obige Hinweis andeutet. Das charakteristische Polynom ist ein Polynom aus   und zwar die Determinante der charakteristischen Abbildung   (lies   als großen griechischen Buchstaben „Chi“) von  . Für eine Darstellungsmatrix   setzt man  . Dieses Polynom (über dem nicht kommutativen Ring der quadratischen Matrizen mit Einselement) hängt nicht von der Darstellungsmatrix   ab.

Zusammengefasst kann also gesagt werden: Jede quadratische Matrix genügt ihrer charakteristischen Gleichung.[1]

Folgerungen

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Einfache Folgerungen aus diesem Satz sind:

  • Die Potenzen einer quadratischen Matrix spannen einen Untervektorraum des Vektorraums aller quadratischen Matrizen auf, der höchstens die Dimension der Zeilenzahl   hat.
  • Die Inverse einer invertierbaren Matrix ist als Linearkombination der Potenzen der Matrix mit Exponenten kleiner als die Zeilenzahl darstellbar.
  • Das Minimalpolynom einer Matrix teilt ihr charakteristisches Polynom.
  • Eine quadratische Matrix mit n-fachem Eigenwert Null ist nilpotent, da ihr charakteristisches Polynom von der Form   ist.

Zudem lassen sich mit dieser Formel besonders einfache Formeln für höhere Potenzen von Matrizen finden. Dazu ist das resultierende Polynom mit den Matrizen einfach nach der gesuchten Matrix freizustellen.

Verallgemeinerung

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Im Bereich der kommutativen Algebra gibt es unterschiedliche miteinander verwandte Verallgemeinerungen des Satzes von Cayley-Hamilton für Moduln über kommutativen Ringen.[2] Im Folgenden wird eine solche Verallgemeinerung mit Beispiel angegeben.

Es seien   ein kommutativer Ring mit Einselement und   ein  -Modul, der von   Elementen erzeugt werden kann. Weiter sei   ein Endomorphismus von  , für den

 

für ein Ideal   gilt. Dann gibt es ein normiertes Polynom   mit  , so dass   gilt.[3]

Beispiel

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Es seien   und   sowie   das Ideal bestehend aus allen geraden Zahlen. Der Endomorphismus   sei definiert durch die Matrix

 .

Da alle Koeffizienten dieser Matrix gerade sind, gilt  . Das charakteristische Polynom von   lautet

 .

Dessen Koeffizienten 2, –44 und –128 sind, wie behauptet, Vielfache von 2, 4 bzw. 8.

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  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14., durchges. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0.

Einzelnachweise

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  1. Hans Jörg Dirschmid: Mathematische Grundlagen der Elektrotechnik. 4. Auflage. Springer-Verlag, 1990, ISBN 3-322-83228-7, S. 545.
  2. Wolmer V. Vasconcelos: Integral closure. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-25540-0, S. 66 ff.
  3. David Eisenbud: Commutative algebra with view toward algebraic geometry. Springer, New York 1997, ISBN 3-540-94269-6, S. 120.