Fuzzy-Zufallsvariable

Eine Fuzzy-Zufallsvariable, engl. Fuzzy Random Variable, ist eine (scharfe) Zufallsvariable, die aber nur unscharf wahrgenommen werden kann. Fuzzy-Zufallsvariablen wurden erstmals 1978 von H. Kwakernaak und 1987 ausführlicher von R. Kruse und K.D. Meyer behandelt. Man betrachte z. B. einen Schwarm von Maifliegen (das Beispiel stammt aus). Das aktuelle Alter einer zufällig herausgegriffenen Fliege ist eine (positiv reellwertige) Zufallsgröße, allerdings ist diese nicht exakt beobachtbar, weil das genaue Geburtsdatum der Maifliege nicht bekannt ist. Man wird also das Alter nur unscharf z. B. als „jung“, „mittleres Alter“ oder „alt“ wahrnehmen können.

Definitionen

Seien $(\Omega ,{\mathfrak {B}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $S$ eine Menge von Zugehörigkeitsfunktionen auf einer Grundmenge $U$, häufig ist $U=\mathbb {R}$. Eine Fuzzy-Zufallsvariable $Y$ ist nun eine Abbildung $Y|\Omega \to S$, wobei an $S$ bzw. an die resultierenden Zugehörigkeitsfunktionen

$m_{Y(\omega )}(x),\quad \omega \in \Omega ,\quad x\in U$

noch (hier unterdrückte) Forderungen gestellt werden, die die Messbarkeit von $Y$ sichern, siehe aber. Sei weiter $O$ die Menge aller scharfen Zufallsvariablen auf $U$, hier Menge der Originale genannt. Eine wesentliche Rolle, insbesondere für die Grundlagen einer Statistik mit unscharfen Daten, spielt nun die Fuzzymenge $O_{Y}$ aller möglichen Originale der Fuzzy-Zufallsvariablen $Y$. Diese Fuzzymenge hat die Zugehörigkeitsfunktion

$m_{O_{Y}}(Z)=\inf _{\omega \in \Omega }m_{Y(\omega )}(Z(\omega )),\quad Z\in O$.

$m_{O_{Y}}(Z)$ beschreibt den Grad der Möglichkeit, dass $Z$ ein (nichtbeobachtbares) Original von $Y$ ist. Etwas salopper ausgedrückt: Welche (scharfen) Zufallsgrößen $Z$ sind möglich, wenn man nur das unscharfe $Y$ beobachten kann. Auf obiges Beispiel mit dem Schwarm von Maifliegen bezogen: Welche (scharfen) Alterskonstellationen sind möglich, wenn man nur Zufallsvariablen mit den Werten "jung", "mittleres Alter" und "alt" beobachten kann.

Erwartungswert einer Fuzzy-Zufallsvariablen

Der Erwartungswert $EY$ einer Fuzzy-Zufallsvariablen $Y$ ist die Fuzzymenge auf $U$, die gemäß dem sogenannten Erweiterungsprinzip durch

$m_{EY}(x)=\sup _{Z\in O:EZ=x}m_{O_{Y}}(Z),\quad x\in U$

erhalten wird. Dieser Erwartungswert stimmt mit dem Erwartungswert einer zufälligen Fuzzymenge überein. Im Spezialfall $U=\mathbb {R}$ kann $EY$ mittels der Alpha-Schnitte $(EY)_{\alpha }$ konstruiert werden durch die Intervalle

$(EY)_{\alpha }=[E\inf(Y(\omega ))_{\alpha },E\sup(Y(\omega ))_{\alpha }],\quad \alpha \in (0,1]$.

Weiteres

Für Fuzzy-Zufallsvariablen kann auch eine Varianz definiert werden. Sie ist eine Fuzzymenge. Im Unterschied dazu ist die Varianz einer zufälligen Fuzzymenge eine reelle Zahl.

Literaturhinweise

• I. Couso, D. Dubois and Sanchez, L. (2014). Random Sets and Random Fuzzy Sets as Ill-Perceived Random Variables. Springer
• I. Couso and Dubois, D. (2009). On the variability of the concept of variance for fuzzy random variables. IEEE Trans. Fuzzy Syst. 17, 1070–1080
• V. Krätschmer (2001). A unified approach to fuzzy random variables. Fuzzy Sets and Systems 123, 1–9