Endlicher Körper

Menge mit einer endlichen Anzahl von Elementen
(Weitergeleitet von Galois-Körper)

In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein endlicher Körper oder Galoiskörper (nach Évariste Galois) ein Körper mit einer endlichen Anzahl von Elementen, d. h. eine endliche Menge, auf der zwei als Addition und Multiplikation verstandene Grundoperationen definiert sind, sodass die Menge zusammen mit diesen Operationen alle Anforderungen eines Körpers erfüllt.

Endliche Körper spielen eine wichtige Rolle in der Kryptographie und der Codierungstheorie (Vorwärtsfehlerkorrektur, zum Beispiel beim Reed-Solomon-Code). Daneben sind sie grundlegend für das Studium der Primideale im Ring der ganzen Zahlen einer endlichen Körpererweiterung von im Rahmen der algebraischen Zahlentheorie. Man vergleiche hierzu auch Verzweigung im Kontext von Erweiterungen von Dedekindringen.

Außerdem sind endliche Körper in der Geometrie als Koordinatenbereiche endlicher Geometrien von Bedeutung. Sie sind allgemeiner Koordinatenbereiche von Ebenen und Räumen in der synthetischen Geometrie. Mit Hilfe der Addition und Multiplikation in einem endlichen Körper werden hier Verknüpfungen mit schwächeren algebraischen Eigenschaften definiert, die aus dem Körper z. B. einen Ternär- oder Quasikörper machen. Auf diesen verallgemeinerten Körpern können dann projektive und affine Ebenen konstruiert werden.

Die Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers ist immer eine Primzahlpotenz. Für jede Primzahl und jede positive natürliche Zahl existiert (bis auf Isomorphie) genau ein Körper mit Elementen, der mit oder bezeichnet wird. ist der Körper der Restklassen ganzer Zahlen modulo .

E. H. Moore prägte wohl 1893 den englischen Begriff Galois field zu Ehren von Évariste Galois, der bereits mit gewissen imaginären Zahlen modulo gerechnet hat.

Der Satz von Wedderburn sagt aus, dass die Multiplikation in einem endlichen Schiefkörper notwendig kommutativ ist. Das heißt, dass endliche Schiefkörper stets endliche Körper sind.

Einführung

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In der Mathematik bezeichnet ein Körper eine Menge, innerhalb der, einfach gesprochen, mit den vier Grundrechenarten gerechnet werden kann. Dabei sollen die aus der Schulmathematik bekannten Regeln des Kommutativgesetzes (Vertauschbarkeit bei „Plus“ und „Mal“), Assoziativgesetzes (Vertauschbarkeit von Klammern bei „nur Plus“ oder „nur Mal“) und Distributivgesetzes („Ausklammern“ und „Ausmultiplizieren“) gelten. Außerdem muss stets das Element   (neutrales Element der Addition) und   (neutrales Element der Multiplikation) Teil eines Körpers sein. Insbesondere soll durch jede Zahl ungleich der   dividiert werden können. Wichtige Beispiele sind der Körper der reellen Zahlen (Bezeichnung:  ) oder der Körper der rationalen Zahlen (Bezeichnung:  ).

Eine Fragestellung aus der Algebra ist, wie Körper aussehen können, also in welchen Typen von Mengen ein „abgeschlossenes Rechnen“ möglich ist. Bemerkenswert in diesem Kontext ist, dass auch Körper   mit nur endlich vielen Elementen existieren. Das Rechnen in diesen Bereichen weicht, obwohl die Gesetze letztlich die gleichen sind, von der „klassischen Anschauung“ ab. Das beginnt damit, dass die Elemente[Anm. 1]

 

nicht alle verschieden sein können, da   nur endlich viele Elemente hat. Da man stets   hat (sonst wäre  , und diesen trivialen Fall schließt man aus), gibt es damit eine kleinste natürliche Zahl  , sodass

 

in   erstmals erfüllt ist.[Anm. 2] Diese Kennzahl wird Charakteristik des Körpers   genannt, also  . Sie ist stets eine Primzahl,[1] denn wäre zum Beispiel   zusammengesetzt, so müsste   sein, und es wäre bereits   oder  , also  , was der Annahme   wegen der Minimalität der Charakteristik direkt widerspräche.

Um das Rechnen in endlichen Körpern genau zu verstehen, ist der Umgang mit Resten bei Divisionsaufgaben notwendig. Nichttriviale Reste entstehen bei Divisionen, die nicht aufgehen. Etwa ist   geteilt durch   gleich   mit Rest  . In den einfachsten Beispielen endlicher Körper wird mit genau diesen Resten gerechnet. Dies kann anhand eines Beispiels demonstriert werden: Es gibt genau fünf mögliche Reste bei der Division durch  , und diese korrespondieren zu

 

mit   Menge der ganzen Zahlen, und   (d. h. alle ganzen Vielfache der Zahl  ). Dabei bedeuten die Über-Striche, dass alle Zahlen, die bei Division mit   den entsprechenden Rest haben, gemeinsam bzw. gebündelt betrachtet werden. Etwa besteht

 

aus genau jenen Zahlen, die bei Division mit   den Rest   haben. Die Zahlen von   bis   sind ferner lediglich Repräsentanten einer ganzen Restklasse,[2] zum Beispiel gelten die Gleichheiten

 

Die jeweiligen Repräsentanten ergeben bei Division durch   alle denselben Rest   und gehören so zur selben Restklasse. Man sieht damit, dass additive Vielfache von   in diesem Beispiel für die Zugehörigkeit zur gleichen Restklasse stets keine Rolle spielen. Mit anderen Worten: Während eine ganze Zahl stets erst durch ihre Zählgröße vollständig bestimmt ist, handelt es sich bei Restklassen um reduzierte Zahlen. Nur noch der Rest ist entscheidend, nicht mehr die Größe.

Mit Restklassen modulo   kann nun in den vier Grundrechenarten gerechnet werden. Dabei gelten im Grunde dieselben Regeln wie beim Rechnen in den ganzen Zahlen  : Zum Beispiel ist

  (Bedeutung: Die Summe zweier beliebiger Zahlen mit Rest   bei Division durch   hat stets Rest   bei Division durch  , etwa   oder  .)
  (Bedeutung: Die Differenz zweier beliebiger Zahlen mit dem selben Rest, etwa  , bei Division durch  , ist stets durch   teilbar, hat also Rest  .)
  (Bedeutung: Das Produkt zweier beliebiger Zahlen mit Rest   bzw.   bei Division durch   hat stets Rest   bei Division durch  , etwa   oder  )

Wichtig ist an dieser Stelle, zu zeigen, dass dies wohldefiniert ist, dass also bei der Auswahl anderer Repräsentanten stets das gleiche Ergebnis herauskommt. Da die Differenz zweier Repräsentanten aber stets durch   teilbar ist, liegt dies auf der Hand: Zum Beispiel ist (vgl. oberes Beispiel)

 

aber auch

 

Ganz ähnliche Überlegungen gelten bei der Wohldefiniertheit der Multiplikation.

Auch die Division ist innerhalb von   möglich (schließt man   aus), denn um allgemein dividieren zu können, ist für jedes   lediglich die Existenz eines Inversen   mit

 

vonnöten (wie etwa   und   im Fall der rationalen Zahlen). Für den Nachweis, dass es stets ein Inverses gibt, ist entscheidend, dass   eine Primzahl ist: Teilt eine Primzahl ein Produkt   zweier ganzer Zahlen, muss bereits mindestens einer der Faktoren durch diese teilbar sein. Hat man dies zur Hand, ist die Argumentation die folgende: Für ein Element  , das man invertieren möchte, betrachtet man alle möglichen Vielfachen (ungleich Null):

 

Die Restklasse   taucht in dieser Liste nicht auf, denn keine der Zahlen   ist durch   teilbar.[Anm. 3] Ferner sind alle Einträge der Liste paarweise verschieden, denn es ist   gleichbedeutend damit, dass  , ergo  . Da   nicht durch   teilbar ist, muss   durch   teilbar sein. Die Differenz   liegt nach Wahl der obigen Repräsentanten   im Intervall  , und nur die   ist dort durch   teilbar. Also ist  . Es muss also die Restklasse   irgendwo in der obigen Liste auftauchen und ein Inverses ist gefunden.[Anm. 4] Zum Beispiel ist   ein Inverses zu   modulo  , da  .[Anm. 5] Da im Wesentlichen „weiterhin in den ganzen Zahlen gerechnet wird“, bleiben Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz erhalten, womit die Restklassenmenge   in der Tat einen Körper bildet.

Diese ganze Argumentation beschränkt sich nicht auf die Primzahl  , sondern es kann zu jeder Primzahl   ein entsprechender endlicher Körper angegeben werden:

 

usw. Dabei müssen die durch die Über-Striche angedeuteten Restklassen natürlich stets auf die betroffene Primzahl angewendet werden.[3]

Beispiel: Der Körper mit 2 Elementen

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Die Restklassen modulo 2 bilden den Körper   mit zwei Elementen.   repräsentiere die Restklasse   der geraden Zahlen,   die Restklasse   der ungeraden Zahlen. Für die Addition gilt:

 

Für die Multiplikation gilt:

  und  

Klassifikation endlicher Körper

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Ist   ein endlicher Körper, so ist der Kern des Ringhomomorphismus  ,   stets von der Form   mit einer gewissen Primzahl  , d. h., er besteht aus allen Vielfachen von  . Dabei beachte man, dass 1 keine Primzahl ist. Diese Primzahl   heißt die Charakteristik von  . Das Bild von   ist nach dem Homomorphiesatz für Ringe isomorph zum Restklassenkörper   und heißt der Primkörper von  . Als endlicher Erweiterungskörper ist   zugleich ein  -dimensionaler Vektorraum über seinem Primkörper. Somit hat   genau   Elemente.

In einem Körper   mit Charakteristik   ist die Abbildung

 

wegen

 

ein Homomorphismus additiver Gruppen.

Die übrigen nach der binomischen Formel auf der rechten Seite auftretenden Summanden fallen wegen   für   fort.   trägt zu Ehren Ferdinand Georg Frobenius’ den Namen Frobeniushomomorphismus, der ein Automorphismus ist und deshalb auch Frobeniusautomorphismus genannt wird. Der Primkörper wird durch   punktweise fixiert (in der Tat ist z. B.   ein Vielfaches von 7). Ebenso ist   auf jedem Körper mit   Elementen. Andererseits besitzt   als Polynom vom Grad   höchstens   verschiedene Nullstellen. Diese sind alle durch die Elemente von   erfasst.

Hieraus lässt sich folgern:

  • Für jede Primzahl   und jede natürliche Zahl   gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper   mit   Elementen.
  • Dieser stellt eine Galois-Erweiterung seines Primkörpers dar.
  • Die Galoisgruppe ist zyklisch von Ordnung   und wird von   erzeugt.

Weitere Eigenschaften endlicher Körper:

  • Alle Elemente außer 0 der additiven Gruppe eines endlichen Körpers der Charakteristik   haben Ordnung  
  • Wie bei jeder endlichen separablen Körpererweiterung gibt es stets ein primitives Element, also ein   derart, dass der Erweiterungskörper durch Adjunktion nur dieses einen Elements entsteht. Ist   das Minimalpolynom von   so hat   den Grad   und es gilt  . Ferner ist   stets bereits der Zerfällungskörper von  , d. h.,   zerfällt über   vollständig in Linearfaktoren.
  • Ist   ein Teiler von  , so ist   eine Galois-Erweiterung vom Grad  . Die zugehörige Galois-Gruppe ist ebenfalls zyklisch und wird von der  -ten Potenz   des Frobeniusautomorphismus erzeugt.

Multiplikative Gruppe und diskreter Logarithmus

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Die multiplikative Gruppe   (oder auch  ) des endlichen Körpers   besteht aus allen Elementen des Körpers mit Ausnahme der Null. Die Gruppenoperation ist die Multiplikation des Körpers.

Die multiplikative Gruppe ist eine zyklische Gruppe mit   Elementen. Da deshalb für alle Elemente   dieser Gruppe   gilt, ist jedes Element eine  -te Einheitswurzel des Körpers. Diejenigen Einheitswurzeln, die Erzeuger der multiplikativen Gruppe sind, werden als primitive Einheitswurzeln oder Primitivwurzeln bezeichnet. Es sind dies die   verschiedenen Nullstellen des  -ten Kreisteilungspolynoms. (  bezeichnet die eulersche φ-Funktion.)

Ist   eine Primitivwurzel der multiplikativen Gruppe  , dann lässt sich die multiplikative Gruppe als Menge   darstellen. Ein solches   wird daher auch als Erzeuger oder Generator bezeichnet. Für jedes Element   gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl   mit  . Diese Zahl   heißt diskreter Logarithmus von   zur Basis  . Obwohl sich   für jedes   problemlos berechnen lässt, ist die Aufgabe, zu gegebenem   den diskreten Logarithmus   zu finden, nach gegenwärtigem Wissensstand für große Zahlen   ein extrem rechenaufwändiger Vorgang. Deshalb findet der diskrete Logarithmus Anwendung in der Kryptographie, etwa beim Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch.

Weitere Beispiele

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Der Körper   kann mit Hilfe des Primkörpers   konstruiert werden: Da   ein Hauptidealring ist, erzeugt jedes irreduzible Element ein maximales Ideal. Für ein irreduzibles Polynom   vom Grad   ist der Faktorring   damit ein Körper mit   Elementen.

Der Körper mit 4 Elementen

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Für den Fall   wird ein irreduzibles Polynom 2-ten Grades über   gesucht. Es existiert nur ein einziges, nämlich  . Die Elemente des Körpers   sind die Restklassen des Faktorrings  . Die   enthaltende Restklasse sei mit   bezeichnet, so dass   Nullstelle von   in   ist. Die andere Nullstelle ist dann   denn es ist

 

Das Produkt von   berechnet sich beispielsweise dann als

 .

Die vollständigen Verknüpfungstafeln für Addition (+) und Multiplikation (×) in   lauten:

+ 0 1 x x+1
0 0 1 x x+1
1 1 0 x+1 x
x x x+1 0 1
x+1 x+1 x 1 0
× 000 1 x x+1
0 0 0 0 0
1 0 1 x x+1
x 0 x x+1 1
x+1 0 x+1 1 x

Farblich hinterlegt ist der Unterkörper  .

Der Körper mit 49 Elementen

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Im Primkörper   ist −1 kein Quadrat. Dies folgt aus dem 1. Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz von Carl Friedrich Gauß oder – bei einer derart kleinen Primzahl – durch explizites Quadrieren aller sechs Elemente der multiplikativen Gruppe. So wie die komplexen Zahlen   aus den reellen Zahlen durch Adjunktion einer Zahl   mit   entstehen, lässt sich auch   aus   durch Adjunktion einer „Zahl“   mit   gewinnen; formal korrekt als   Gleichzeitig ist   auch ein Faktorring des Rings der ganzen Gaußschen Zahlen.

Der Körper mit 25 Elementen

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In Charakteristik 5 ist −1 stets ein Quadrat:  . Keine Quadrate modulo 5 sind jedoch die Zahlen 2 und 3. (In Charakteristik   mit   sind stets genau die Hälfte der Elemente der multiplikativen Gruppe   Quadrate bzw. Nichtquadrate.) Man kann also den Körper mit 25 Elementen als  , also durch Adjunktion von   erhalten.

Zur historischen Entwicklung

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Dass man mit Zahlen modulo einer Primzahl „wie mit rationalen Zahlen“ rechnen kann, hatte bereits Gauß gezeigt.[4] Galois führte in die Rechnung modulo   imaginäre Zahlgrößen ein, ganz so wie die imaginäre Einheit   in den komplexen Zahlen. Damit hat er wohl als erster Körpererweiterungen von   betrachtet – wenn auch der abstrakte Körperbegriff erst 1895 durch Heinrich Weber eingeführt wurde und Frobenius als Erster diesen 1896 auf endliche Strukturen ausdehnte. Daneben bzw. zuvor hat offenbar Eliakim Hastings Moore 1893 bereits endliche Körper studiert und den Namen Galois field eingeführt.[5]

Literatur

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  • Dieter Jungnickel: Finite fields: Structure and arithmetics. B.I. Wissenschaftsverlag, 1993, ISBN 3-411-16111-6.
  • Hans Kurzweil: Endliche Körper. Verstehen, Rechnen, Anwenden. Springer, ISBN 978-3-540-79597-1.

Zur historischen Entwicklung:

Anmerkungen

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  1. Die neutralen Elemente der Addition bzw. Multiplikation werden in allgemeinen Körpern weiterhin meistens mit   und   bezeichnet. Entsprechend können erneut die Benennungen   usw. durch arabische Ziffern benutzt werden, obwohl sich das Rechnen in anderen Körpern in manchen Fällen von jenem aus den reellen Zahlen „unterscheidet“. Streng genommen müssten daher Notationen wie   benutzt werden, um die Zugehörigkeit zum Körper   zu erklären.
  2. Da es nur endlich viele Elemente im Körper gibt, kommt irgendwann der Punkt, dass die Folge   irgendeiner Wiederholung unterworfen ist. Etwa könnte   gelten. Da in Körpern nun aber auch die Subtraktion erlaubt ist, folgte damit  .
  3. Es ist keine der Zahlen   und   durch   teilbar. Nach Voraussetzung ist   nicht durch   teilbar, denn  . Da   eine Primzahl ist, ist demnach keines der Produkte   durch   teilbar.
  4. Da die vier Elemente   alle verschieden sind, als Liste aber nur Elemente von   enthält, muss auch das Element   vorhanden sein.
  5. Es übernimmt   quasi die Rolle der „Zahl  “ in  .

Einzelnachweise

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  1. Siegfried Bosch: Algebra, Springer Spektrum, 8. Auflage, S. 87–88.
  2. Friedrich Ischebeck: Einladung zur Zahlentheorie, BI Wissenschaftsverlag, S. 53.
  3. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1992, S. 91.
  4. Zur historischen Entwicklung vgl. man Wußing, S. 354 ff.
  5. Vgl. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F). Abgerufen am 12. September 2009.