Johann Heinrich Lambert veröffentlichte 1768 mehrere Beispiele für fortgesetzte Brüche in dieser Form, und sowohl Euler als auch Lagrange untersuchten ähnliche Konstruktionen, aber es war Carl Friedrich Gauß , der 1813 die im nächsten Abschnitt beschriebene Algebra verwendete, um die allgemeine Form dieses Kettenbruchs abzuleiten.[ 1]
Obwohl Gauß die Form dieses Kettenbruchs angab, lieferte er keinen Beweis für seine Konvergenzeigenschaften. Bernhard Riemann und L.W. Thomé erzielten teilweise Ergebnisse, aber der endgültige Beweis über die Region, in welcher der Kettenbruch konvergiert, wurde erst 1901 von Edward Burr Van Vleck gegeben.[ 2]
Lassen wir
f
0
,
f
1
,
f
2
,
…
{\displaystyle f_{0},\,f_{1},\,f_{2},\,\dots }
f
i
−
1
−
f
i
=
k
i
z
f
i
+
1
{\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}\,z\,f_{i+1}}
für alle
i
>
0
{\displaystyle i>0}
k
i
{\displaystyle k_{i}}
Dann
f
i
−
1
f
i
=
1
+
k
i
z
f
i
+
1
f
i
und
f
i
f
i
−
1
=
1
1
+
k
i
z
f
i
+
1
f
i
{\displaystyle {\frac {f_{i-1}}{f_{i}}}=1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}}{\text{ und }}{\frac {f_{i}}{f_{i-1}}}={\frac {1}{1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}}}}}
Setzen wir
g
i
=
f
i
/
f
i
−
1
,
{\displaystyle g_{i}=f_{i}/f_{i-1},}
g
i
=
1
1
+
k
i
z
g
i
+
1
,
{\displaystyle g_{i}={\frac {1}{1+k_{i}zg_{i+1}}},}
Bearbeiten
Also
g
1
=
f
1
f
0
=
1
1
+
k
1
z
g
2
=
1
1
+
k
1
z
1
+
k
2
z
g
3
=
1
1
+
k
1
z
1
+
k
2
z
1
+
k
3
z
g
4
=
⋯
.
{\displaystyle g_{1}={\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+k_{1}zg_{2}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+k_{2}zg_{3}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+k_{3}zg_{4}}}}}}}=\cdots .\ }
Via der Wiederholung dessen dies ad infinitum wird der Kettenbruchausdruck erzeugt
f
1
f
0
=
1
1
+
k
1
z
1
+
k
2
z
1
+
k
3
z
1
+
⋱
{\displaystyle {\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+{\cfrac {k_{3}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}
In den Kettenbrüchen von Gauß, die Funktion
f
i
{\displaystyle f_{i}}
hypergeometrische Funktion der Form
0
F
1
{\displaystyle {}_{0}F_{1}}
1
F
1
{\displaystyle {}_{1}F_{1}}
2
F
1
{\displaystyle {}_{2}F_{1}}
f
i
−
1
−
f
i
=
k
i
z
f
i
+
1
{\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}
Der einfachste Fall ist
0
F
1
(
a
;
z
)
=
1
+
1
a
1
!
z
+
1
a
(
a
+
1
)
2
!
z
2
+
1
a
(
a
+
1
)
(
a
+
2
)
3
!
z
3
+
⋯
.
{\displaystyle \,_{0}F_{1}(a;z)=1+{\frac {1}{a\,1!}}z+{\frac {1}{a(a+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {1}{a(a+1)(a+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .}
Beginnend mit der Identität
0
F
1
(
a
−
1
;
z
)
−
0
F
1
(
a
;
z
)
=
z
a
(
a
−
1
)
0
F
1
(
a
+
1
;
z
)
,
{\displaystyle \,_{0}F_{1}(a-1;z)-\,_{0}F_{1}(a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\,_{0}F_{1}(a+1;z),}
wir nutzen
f
i
=
0
F
1
(
a
+
i
;
z
)
,
k
i
=
1
(
a
+
i
)
(
a
+
i
−
1
)
,
{\displaystyle f_{i}={}_{0}F_{1}(a+i;z),\,k_{i}={\tfrac {1}{(a+i)(a+i-1)}},}
was impliziert
0
F
1
(
a
+
1
;
z
)
0
F
1
(
a
;
z
)
=
1
1
+
1
a
(
a
+
1
)
z
1
+
1
(
a
+
1
)
(
a
+
2
)
z
1
+
1
(
a
+
2
)
(
a
+
3
)
z
1
+
⋱
{\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {1}{a(a+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+1)(a+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+2)(a+3)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}
oder
0
F
1
(
a
+
1
;
z
)
a
0
F
1
(
a
;
z
)
=
1
a
+
z
(
a
+
1
)
+
z
(
a
+
2
)
+
z
(
a
+
3
)
+
⋱
.
{\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{a\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{a+{\cfrac {z}{(a+1)+{\cfrac {z}{(a+2)+{\cfrac {z}{(a+3)+{}\ddots }}}}}}}}.}
Dieser Kettenbruch konvergiert gegen die meromorphe Funktion, die durch das Verhältnis der beiden konvergenten Reihen definiert ist (vorausgesetzt natürlich, dass a weder Null noch eine negative ganze Zahl ist).
Der nächste Fall enthält
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
=
1
+
a
b
1
!
z
+
a
(
a
+
1
)
b
(
b
+
1
)
2
!
z
2
+
a
(
a
+
1
)
(
a
+
2
)
b
(
b
+
1
)
(
b
+
2
)
3
!
z
3
+
⋯
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)=1+{\frac {a}{b\,1!}}z+{\frac {a(a+1)}{b(b+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)\,3!}}z^{3}+\cdots }
für den die zwei Identitäten
1
F
1
(
a
;
b
−
1
;
z
)
−
1
F
1
(
a
+
1
;
b
;
z
)
=
(
a
−
b
+
1
)
z
b
(
b
−
1
)
1
F
1
(
a
+
1
;
b
+
1
;
z
)
{\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}
1
F
1
(
a
;
b
−
1
;
z
)
−
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
=
a
z
b
(
b
−
1
)
1
F
1
(
a
+
1
;
b
+
1
;
z
)
{\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}
abwechselnd verwendet werden.
Definieren wir
f
0
(
z
)
=
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
,
{\displaystyle f_{0}(z)=\,_{1}F_{1}(a;b;z),}
f
1
(
z
)
=
1
F
1
(
a
+
1
;
b
+
1
;
z
)
,
{\displaystyle f_{1}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z),}
f
2
(
z
)
=
1
F
1
(
a
+
1
;
b
+
2
;
z
)
,
{\displaystyle f_{2}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+2;z),}
f
3
(
z
)
=
1
F
1
(
a
+
2
;
b
+
3
;
z
)
,
{\displaystyle f_{3}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+3;z),}
f
4
(
z
)
=
1
F
1
(
a
+
2
;
b
+
4
;
z
)
,
{\displaystyle f_{4}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+4;z),}
und so weiter.
Das gibt
f
i
−
1
−
f
i
=
k
i
z
f
i
+
1
{\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}
k
1
=
a
−
b
b
(
b
+
1
)
,
k
2
=
a
+
1
(
b
+
1
)
(
b
+
2
)
,
k
3
=
a
−
b
−
1
(
b
+
2
)
(
b
+
3
)
,
k
4
=
a
+
2
(
b
+
3
)
(
b
+
4
)
{\displaystyle k_{1}={\tfrac {a-b}{b(b+1)}},k_{2}={\tfrac {a+1}{(b+1)(b+2)}},k_{3}={\tfrac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}},k_{4}={\tfrac {a+2}{(b+3)(b+4)}}}
1
F
1
(
a
+
1
;
b
+
1
;
z
)
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
=
1
1
+
a
−
b
b
(
b
+
1
)
z
1
+
a
+
1
(
b
+
1
)
(
b
+
2
)
z
1
+
a
−
b
−
1
(
b
+
2
)
(
b
+
3
)
z
1
+
a
+
2
(
b
+
3
)
(
b
+
4
)
z
1
+
⋱
{\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a-b}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}
oder
1
F
1
(
a
+
1
;
b
+
1
;
z
)
b
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
=
1
b
+
(
a
−
b
)
z
(
b
+
1
)
+
(
a
+
1
)
z
(
b
+
2
)
+
(
a
−
b
−
1
)
z
(
b
+
3
)
+
(
a
+
2
)
z
(
b
+
4
)
+
⋱
{\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {(a-b)z}{(b+1)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a+2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}
Ähnlich
1
F
1
(
a
;
b
+
1
;
z
)
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
=
1
1
+
a
b
(
b
+
1
)
z
1
+
a
−
b
−
1
(
b
+
1
)
(
b
+
2
)
z
1
+
a
+
1
(
b
+
2
)
(
b
+
3
)
z
1
+
a
−
b
−
2
(
b
+
3
)
(
b
+
4
)
z
1
+
⋱
{\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}
oder
1
F
1
(
a
;
b
+
1
;
z
)
b
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
=
1
b
+
a
z
(
b
+
1
)
+
(
a
−
b
−
1
)
z
(
b
+
2
)
+
(
a
+
1
)
z
(
b
+
3
)
+
(
a
−
b
−
2
)
z
(
b
+
4
)
+
⋱
{\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {az}{(b+1)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a-b-2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}
Da
1
F
1
(
0
;
b
;
z
)
=
1
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(0;b;z)=1}
b zu den vereinfachten Spezialfall des Kettenbruchs führen:
1
F
1
(
1
;
b
;
z
)
=
1
1
+
−
z
b
+
z
(
b
+
1
)
+
−
b
z
(
b
+
2
)
+
2
z
(
b
+
3
)
+
−
(
b
+
1
)
z
(
b
+
4
)
+
⋱
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(1;b;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{b+{\cfrac {z}{(b+1)+{\cfrac {-bz}{(b+2)+{\cfrac {2z}{(b+3)+{\cfrac {-(b+1)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}
Der finale Fall enthält
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
1
+
a
b
c
1
!
z
+
a
(
a
+
1
)
b
(
b
+
1
)
c
(
c
+
1
)
2
!
z
2
+
a
(
a
+
1
)
(
a
+
2
)
b
(
b
+
1
)
(
b
+
2
)
c
(
c
+
1
)
(
c
+
2
)
3
!
z
3
+
⋯
.
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c\,1!}}z+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .\,}
Nochmals, zwei Identitäten.
2
F
1
(
a
,
b
;
c
−
1
;
z
)
−
2
F
1
(
a
+
1
,
b
;
c
;
z
)
=
(
a
−
c
+
1
)
b
z
c
(
c
−
1
)
2
F
1
(
a
+
1
,
b
+
1
;
c
+
1
;
z
)
,
{\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z),}
2
F
1
(
a
,
b
;
c
−
1
;
z
)
−
2
F
1
(
a
,
b
+
1
;
c
;
z
)
=
(
b
−
c
+
1
)
a
z
c
(
c
−
1
)
2
F
1
(
a
+
1
,
b
+
1
;
c
+
1
;
z
)
.
{\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-c+1)az}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z).}
Diese sind essentiell gleich für wechselnde a und b.
Definieren wir
f
0
(
z
)
=
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
,
{\displaystyle f_{0}(z)=\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}
f
1
(
z
)
=
2
F
1
(
a
+
1
,
b
;
c
+
1
;
z
)
,
{\displaystyle f_{1}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z),}
f
2
(
z
)
=
2
F
1
(
a
+
1
,
b
+
1
;
c
+
2
;
z
)
,
{\displaystyle f_{2}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+2;z),}
f
3
(
z
)
=
2
F
1
(
a
+
2
,
b
+
1
;
c
+
3
;
z
)
,
{\displaystyle f_{3}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+1;c+3;z),}
f
4
(
z
)
=
2
F
1
(
a
+
2
,
b
+
2
;
c
+
4
;
z
)
,
{\displaystyle f_{4}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+2;c+4;z),}
und so weiter.
Das gibt
f
i
−
1
−
f
i
=
k
i
z
f
i
+
1
{\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}
k
1
=
(
a
−
c
)
b
c
(
c
+
1
)
,
k
2
=
(
b
−
c
−
1
)
(
a
+
1
)
(
c
+
1
)
(
c
+
2
)
,
k
3
=
(
a
−
c
−
1
)
(
b
+
1
)
(
c
+
2
)
(
c
+
3
)
,
k
4
=
(
b
−
c
−
2
)
(
a
+
2
)
(
c
+
3
)
(
c
+
4
)
{\displaystyle k_{1}={\tfrac {(a-c)b}{c(c+1)}},k_{2}={\tfrac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}},k_{3}={\tfrac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}},k_{4}={\tfrac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}}
2
F
1
(
a
+
1
,
b
;
c
+
1
;
z
)
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
1
1
+
(
a
−
c
)
b
c
(
c
+
1
)
z
1
+
(
b
−
c
−
1
)
(
a
+
1
)
(
c
+
1
)
(
c
+
2
)
z
1
+
(
a
−
c
−
1
)
(
b
+
1
)
(
c
+
2
)
(
c
+
3
)
z
1
+
(
b
−
c
−
2
)
(
a
+
2
)
(
c
+
3
)
(
c
+
4
)
z
1
+
⋱
{\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}
oder
2
F
1
(
a
+
1
,
b
;
c
+
1
;
z
)
c
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
1
c
+
(
a
−
c
)
b
z
(
c
+
1
)
+
(
b
−
c
−
1
)
(
a
+
1
)
z
(
c
+
2
)
+
(
a
−
c
−
1
)
(
b
+
1
)
z
(
c
+
3
)
+
(
b
−
c
−
2
)
(
a
+
2
)
z
(
c
+
4
)
+
⋱
{\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{c{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{c+{\cfrac {(a-c)bz}{(c+1)+{\cfrac {(b-c-1)(a+1)z}{(c+2)+{\cfrac {(a-c-1)(b+1)z}{(c+3)+{\cfrac {(b-c-2)(a+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}
Da
2
F
1
(
0
,
b
;
c
;
z
)
=
1
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(0,b;c;z)=1}
c zu den vereinfachten Spezialfall des Kettenbruchs führen:
2
F
1
(
1
,
b
;
c
;
z
)
=
1
1
+
−
b
z
c
+
(
b
−
c
)
z
(
c
+
1
)
+
−
c
(
b
+
1
)
z
(
c
+
2
)
+
2
(
b
−
c
−
1
)
z
(
c
+
3
)
+
−
(
c
+
1
)
(
b
+
2
)
z
(
c
+
4
)
+
⋱
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(1,b;c;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{c+{\cfrac {(b-c)z}{(c+1)+{\cfrac {-c(b+1)z}{(c+2)+{\cfrac {2(b-c-1)z}{(c+3)+{\cfrac {-(c+1)(b+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}
Es ist bekannt, dass
cosh
(
z
)
=
0
F
1
(
1
2
;
z
2
4
)
,
{\displaystyle \cosh(z)=\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),}
sinh
(
z
)
=
z
0
F
1
(
3
2
;
z
2
4
)
,
{\displaystyle \sinh(z)=z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),}
woraus der Kettenbruch folgt
tanh
(
z
)
=
z
0
F
1
(
3
2
;
z
2
4
)
0
F
1
(
1
2
;
z
2
4
)
=
z
/
2
1
2
+
z
2
4
3
2
+
z
2
4
5
2
+
z
2
4
7
2
+
⋱
=
z
1
+
z
2
3
+
z
2
5
+
z
2
7
+
⋱
.
{\displaystyle \tanh(z)={\frac {z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}{\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}}={\cfrac {z/2}{{\tfrac {1}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {3}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {5}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {7}{2}}+{}\ddots }}}}}}}}={\cfrac {z}{1+{\cfrac {z^{2}}{3+{\cfrac {z^{2}}{5+{\cfrac {z^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}.}
Dieser spezielle Kettenbruch ist auch bekannt als Lambertscher Kettenbruch und wir zurück auf 1768 datiert.
Damit folgt, dass
tan
(
z
)
=
z
1
−
z
2
3
−
z
2
5
−
z
2
7
−
⋱
.
{\displaystyle \tan(z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{3-{\cfrac {z^{2}}{5-{\cfrac {z^{2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}.}
Die Reihenentwicklung des
tanh
{\displaystyle \tanh }
e
n
{\displaystyle e^{n}}
n
{\displaystyle n}
e
{\displaystyle e}
transzendent ist). Die Reihenentwicklung des
tan
{\displaystyle \tan }
Legendre genutzt um zu beweisen, dass pi irrational ist.
Die Bessel-Funktion
J
ν
{\displaystyle J_{\nu }}
J
ν
(
z
)
=
(
1
2
z
)
ν
Γ
(
ν
+
1
)
0
F
1
(
ν
+
1
;
−
z
2
4
)
,
{\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {({\tfrac {1}{2}}z)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\,_{0}F_{1}(\nu +1;-{\frac {z^{2}}{4}}),}
woraus der Kettenbruch folgt
J
ν
(
z
)
J
ν
−
1
(
z
)
=
z
2
ν
−
z
2
2
(
ν
+
1
)
−
z
2
2
(
ν
+
2
)
−
z
2
2
(
ν
+
3
)
−
⋱
.
{\displaystyle {\frac {J_{\nu }(z)}{J_{\nu -1}(z)}}={\cfrac {z}{2\nu -{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +1)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +2)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +3)-{}\ddots }}}}}}}}.}
Diese Formeln gelten auch für
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
Mit
e
z
=
1
F
1
(
1
;
1
;
z
)
{\displaystyle e^{z}={}_{1}F_{1}(1;1;z)}
1
/
e
z
=
e
−
z
{\displaystyle 1/e^{z}=e^{-z}}
e
z
=
1
1
+
−
z
1
+
z
2
+
−
z
3
+
2
z
4
+
−
2
z
5
+
⋱
{\displaystyle e^{z}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{1+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {-z}{3+{\cfrac {2z}{4+{\cfrac {-2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}
e
z
=
1
+
z
1
+
−
z
2
+
z
3
+
−
2
z
4
+
2
z
5
+
⋱
.
{\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {-z}{2+{\cfrac {z}{3+{\cfrac {-2z}{4+{\cfrac {2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}.}
Was mit ein wenigen Umformungen zu einem simpleren Kettenbruch für
e
{\displaystyle e}
e
=
2
+
1
1
+
1
2
+
1
1
+
1
1
+
1
4
+
⋱
{\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}
Die Fehlerfunktion
erf
{\displaystyle \operatorname {erf} }
erf
(
z
)
=
2
π
∫
0
z
e
−
t
2
d
t
,
{\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,dt,}
kann ebenso in Termen von Kummers hypergeometrischen Funktionen (auch bekannt als konfluente hypergeometrische Funktion ) geschrieben werden:
erf
(
z
)
=
2
z
π
e
−
z
2
1
F
1
(
1
;
3
2
;
z
2
)
.
{\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}\,_{1}F_{1}(1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};z^{2}).}
Unter der Verwendung des Kettenbruchs von Gauß kann ein nützlicher Kettenbruch gefunden werden, welcher für alle
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
π
2
e
z
2
erf
(
z
)
=
z
1
−
z
2
3
2
+
z
2
5
2
−
3
2
z
2
7
2
+
2
z
2
9
2
−
5
2
z
2
11
2
+
3
z
2
13
2
−
7
2
z
2
15
2
+
−
⋱
.
{\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{z^{2}}\operatorname {erf} (z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{{\frac {3}{2}}+{\cfrac {z^{2}}{{\frac {5}{2}}-{\cfrac {{\frac {3}{2}}z^{2}}{{\frac {7}{2}}+{\cfrac {2z^{2}}{{\frac {9}{2}}-{\cfrac {{\frac {5}{2}}z^{2}}{{\frac {11}{2}}+{\cfrac {3z^{2}}{{\frac {13}{2}}-{\cfrac {{\frac {7}{2}}z^{2}}{{\frac {15}{2}}+-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}
Eine ähnliche Argumentation kann für die Fresnel-Integrale , für die Dawson-Funktion , und die unvollständige Gammafunktion geführt werden. Eine einfachere Version des Arguments ergibt zwei nützliche Kettenbrucherweiterungen der Exponentialfunktionen .
Von
(
1
−
z
)
−
b
=
1
F
0
(
b
;
;
z
)
=
2
F
1
(
1
,
b
;
1
;
z
)
,
{\displaystyle (1-z)^{-b}={}_{1}F_{0}(b;;z)=\,_{2}F_{1}(1,b;1;z),}
(
1
−
z
)
−
b
=
1
1
+
−
b
z
1
+
(
b
−
1
)
z
2
+
−
(
b
+
1
)
z
3
+
2
(
b
−
2
)
z
4
+
⋱
{\displaystyle (1-z)^{-b}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{1+{\cfrac {(b-1)z}{2+{\cfrac {-(b+1)z}{3+{\cfrac {2(b-2)z}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}
Es ist leicht zu zeigen, dass die Taylorreihenentwicklung des Arkustangens um 0 gegeben ist durch
arctan
z
=
z
F
(
1
2
,
1
;
3
2
;
−
z
2
)
.
{\displaystyle \arctan z=zF({\scriptstyle {\frac {1}{2}}},1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};-z^{2}).}
Der Kettenbruch von Gauß kann auf diese Identität angewendet werden um den Kettenbruch zu erhalten
arctan
z
=
z
1
+
(
1
z
)
2
3
+
(
2
z
)
2
5
+
(
3
z
)
2
7
+
(
4
z
)
2
9
+
⋱
,
{\displaystyle \arctan z={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}},}
die zum Hauptzweig der inversen Tangensfunktion auf der Schnittebene konvergiert, wobei sich der Schnitt entlang der imaginären Achse von i bis zum Punkt im Unendlichen und von
−
i
{\displaystyle -i}
Dieser spezielle fortgesetzte Bruch konvergiert ziemlich schnell, wenn
z
=
1
{\displaystyle z=1}
−
i
{\displaystyle -i}
π
4
=
1
1
+
1
2
2
+
3
2
2
+
5
2
2
+
⋱
=
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
±
⋯
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\pm \cdots }
viel langsamer konvergiert, da mehr als eine Million Terme erforderlich sind, um eine Genauigkeit von sieben Dezimalstellen zu erzielen.
Variationen dieses Ausdrucks können genutzt werden um die Kettenbrüche weiterer Funktionen wie den natürlichen Logarithmus , der Arkussinusfunktion und die verallgemeinerte binomische Reihe .
