Gemeinsames Spektrum

Das gemeinsame Spektrum von endlich vielen Elementen einer kommutativen $\mathbb {C}$-Banachalgebra verallgemeinert den in der Mathematik bei der Untersuchung von Banachalgebren verwendeten Begriff des Spektrums eines Elementes.

Motivation und Definition

Sei $A$ eine $\mathbb {C}$-Banachalgebra mit Einselement 1. Das Spektrum $\sigma (a)$ eines Elementes $a\in A$ ist die Menge aller komplexen Zahlen $\lambda$, für die das Element $a-\lambda \cdot 1$ nicht invertierbar ist. Bezeichnet man mit $X_{A}$ die Menge aller $\mathbb {C}$-Homomorphismen $A\rightarrow \mathbb {C}$, so hat man im Falle einer kommutativen Banachalgebra die Beziehung

$\sigma (a)\,=\,\{\phi (a);\,\phi \in X_{A}\}\,\subset \,\mathbb {C}$.

Diese Beziehung kann man auch auf mehrere Elemente einer Banachalgebra ausdehnen. Für eine kommutative $\mathbb {C}$-Banachalgebra $A$ mit Einselement und Elementen $a_{1},\ldots a_{n}\in A$ setzt man

$\sigma (a_{1},\ldots ,a_{n})\,=\,\{(\phi (a_{1}),\ldots ,\phi (a_{n}));\,\phi \in X_{A}\}\,\subset \,\mathbb {C} ^{n}$.

$\sigma (a_{1},\ldots ,a_{n})$ heißt das gemeinsame Spektrum der Elemente $a_{1},\ldots a_{n}$. Hat die Banachalgebra kein Einselement, so adjungierte man ein Einselement und definiere dort das gemeinsame Spektrum.

Eigenschaften

Invertierbarkeit

Der Zusammenhang zwischen Spektrum und Invertierbarkeit verallgemeinert sich wie folgt auf die Situation mehrerer Elemente:

Ist $A$ eine kommutative $\mathbb {C}$-Banachalgebra mit 1, $a_{1},\ldots ,a_{n}\in A$, $\lambda _{1},\ldots \lambda _{n}\in \mathbb {C}$, so sind folgende Aussagen äquivalent:

• $(\lambda _{1},\ldots \lambda _{n})\notin \sigma (a_{1},\ldots ,a_{n})$
• Es gibt $b_{1},\ldots ,b_{n}\in A$ mit $\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-\lambda _{k})b_{k}\,=\,1$

Kompaktheit

Das gemeinsame Spektrum $\sigma (a_{1},\ldots ,a_{n})$ von endlich vielen Elementen einer kommutativen $\mathbb {C}$-Banachalgebra ist eine kompakte Teilmenge von $\mathbb {C} ^{n}$. Die Abbildung $X_{A}\rightarrow \mathbb {C} ^{n},\,\phi \mapsto (\phi (a_{1}),\ldots ,\phi (a_{n}))$ ist nach Definition der schwach-*-Topologie, die auf dem Gelfand-Raum $X_{A}$ betrachtet wird, stetig. Da der Gelfand-Raum einer Banachalgebra mit 1 kompakt ist, ergibt sich daraus die Kompaktheit des gemeinsamen Spektrums, denn stetige Bilder kompakter Mengen sind wieder kompakt.

Polynomkonvexität

Eine Banachalgebra $A$ wird per definitionem von Elementen $a_{1},\ldots ,a_{n}\in A$ erzeugt, wenn $A$ die kleinste Unterbanachalgebra von $A$ ist, die $a_{1},\ldots ,a_{n}$ enthält.

Für eine Teilmenge $K\subset \mathbb {C}$ kann man zeigen, dass genau dann $K=\sigma (a)$ gilt für eine kommutative $\mathbb {C}$-Banachalgebra mit Einselement, die von einem Element $a\in A$ erzeugt wird, wenn $K$ kompakt und $\mathbb {C} \setminus K$ zusammenhängend ist.

Eine entsprechende topologische Charakterisierung von Mengen im $\mathbb {C} ^{n}$, die als gemeinsames Spektrum von erzeugenden Elementen $a_{1},\ldots ,a_{n}$ einer kommutativen $\mathbb {C}$-Banachalgebra mit Einselement auftreten, gelingt nicht. Da eine kompakte Menge $K\subset \mathbb {C}$ genau dann polynomkonvex ist, wenn $\mathbb {C} \setminus K$ zusammenhängend ist, stellt der folgende Satz eine Verallgemeinerung obigen Sachverhaltes dar:

Für eine Menge $K\subset \mathbb {C} ^{n}$ sind folgende Aussagen äquivalent:

• Es gibt eine kommutative $\mathbb {C}$-Banachalgebra mit Einselement, die von $n$ Elementen $a_{1},\ldots ,a_{n}\in A$ erzeugt wird, so dass $K=\sigma (a_{1},\ldots ,a_{n})$.
• $K$ ist kompakt und polynomkonvex.

Hat man endlich viele Elemente, die nicht die gesamte Banachalgebra erzeugen, so ist deren gemeinsames Spektrum im Allgemeinen nicht polynomkonvex.

Literatur

• F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862
• Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Mathematical Library 1973