Das gemeinsame Spektrum von endlich vielen Elementen einer kommutativen -Banachalgebra verallgemeinert den in der Mathematik bei der Untersuchung von Banachalgebren verwendeten Begriff des Spektrums eines Elementes.

Motivation und Definition

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Sei   eine  -Banachalgebra mit Einselement 1. Das Spektrum   eines Elementes   ist die Menge aller komplexen Zahlen  , für die das Element   nicht invertierbar ist. Bezeichnet man mit   die Menge aller  -Homomorphismen  , so hat man im Falle einer kommutativen Banachalgebra die Beziehung

 .

Diese Beziehung kann man auch auf mehrere Elemente einer Banachalgebra ausdehnen. Für eine kommutative  -Banachalgebra   mit Einselement und Elementen   setzt man

 .

  heißt das gemeinsame Spektrum der Elemente  . Hat die Banachalgebra kein Einselement, so adjungierte man ein Einselement und definiere dort das gemeinsame Spektrum.

Eigenschaften

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Invertierbarkeit

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Der Zusammenhang zwischen Spektrum und Invertierbarkeit verallgemeinert sich wie folgt auf die Situation mehrerer Elemente:

Ist   eine kommutative  -Banachalgebra mit 1,  ,  , so sind folgende Aussagen äquivalent:

  •  
  • Es gibt   mit  

Kompaktheit

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Das gemeinsame Spektrum   von endlich vielen Elementen einer kommutativen  -Banachalgebra ist eine kompakte Teilmenge von  . Die Abbildung   ist nach Definition der schwach-*-Topologie, die auf dem Gelfand-Raum   betrachtet wird, stetig. Da der Gelfand-Raum einer Banachalgebra mit 1 kompakt ist, ergibt sich daraus die Kompaktheit des gemeinsamen Spektrums, denn stetige Bilder kompakter Mengen sind wieder kompakt.

Polynomkonvexität

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Eine Banachalgebra   wird per definitionem von Elementen   erzeugt, wenn   die kleinste Unterbanachalgebra von   ist, die   enthält.

Für eine Teilmenge   kann man zeigen, dass genau dann   gilt für eine kommutative  -Banachalgebra mit Einselement, die von einem Element   erzeugt wird, wenn   kompakt und   zusammenhängend ist.

Eine entsprechende topologische Charakterisierung von Mengen im  , die als gemeinsames Spektrum von erzeugenden Elementen   einer kommutativen  -Banachalgebra mit Einselement auftreten, gelingt nicht. Da eine kompakte Menge   genau dann polynomkonvex ist, wenn   zusammenhängend ist, stellt der folgende Satz eine Verallgemeinerung obigen Sachverhaltes dar:

Für eine Menge   sind folgende Aussagen äquivalent:

  • Es gibt eine kommutative  -Banachalgebra mit Einselement, die von   Elementen   erzeugt wird, so dass  .
  •   ist kompakt und polynomkonvex.

Hat man endlich viele Elemente, die nicht die gesamte Banachalgebra erzeugen, so ist deren gemeinsames Spektrum im Allgemeinen nicht polynomkonvex.

Literatur

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  • F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862
  • Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Mathematical Library 1973