Im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie ist die geodätische Kompaktifizierung oder geometrische Kompaktifizierung eine Kompaktifizierung hyperbolischer Räume oder allgemein nichtpositiv gekrümmter Räume durch eine Sphäre im Unendlichen.

Diese Kompaktifizierung funktioniert auch für allgemeine Hadamard-Räume, allerdings muss der Rand im Unendlichen dann im Allgemeinen keine Sphäre sein. Aufgrund der Konstruktion der Randpunkte als (im Unendlichen liegende) Endpunkte von Geodäten wird dieser Rand im Unendlichen auch als sichtbarer Rand bzw. (falls es sich um eine Sphäre handelt) als sichtbare Sphäre (engl.: visibility sphere) bezeichnet.

Dieser Artikel behandelt den Rand im Unendlichen negativ gekrümmter, einfach zusammenhängender, Riemannscher Mannigfaltigkeiten. Die Definition lässt sich auch auf Gromov-hyperbolische Räume und insbesondere auf hyperbolische Gruppen übertragen, siehe Gromov-hyperbolischer Raum#Gromov-Rand und Hyperbolische Gruppe#Rand im Unendlichen.

Definition

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Es sei   eine einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung (oder allgemeiner ein Hadamard-Raum).

Wir definieren zwei geodätische Strahlen   als äquivalent, wenn

 

gilt. Wir bezeichnen die Menge der Äquivalenzklassen mit  , eine andere gebräuchliche Bezeichnung ist  . Man sagt eine Geodäte   ist zu einem Punkt   asymptotisch, wenn   zur Äquivalenzklasse   gehört.

Für Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung gibt es eine Bijektion zwischen der Einheitssphäre in   (für ein beliebiges  ) und  , weshalb der geodätische Rand auch als „Sphäre im Unendlichen“ oder „sichtbare Sphäre“ (engl.: „visibility sphere“) bezeichnet wird. Für beliebige Hadamard-Räume (die keine Mannigfaltigkeit sind) muss   keine Sphäre sein.

Die geodätische Kompaktifizierung von   ist die Vereinigung   mit der im folgenden Abschnitt definierten Topologie.

Topologie

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Die Topologie auf der Kompaktifizierung   wird durch die folgenden Bedingungen definiert.

Eine Folge   konvergiert genau dann gegen einen von einem geodätischen Strahl   repräsentierten Punkt  , wenn die Folge der Geodäten[1]   von einem (fest gewählten) Basispunkt   nach   gegen eine Geodäte in der Äquivalenzklasse   konvergiert.

Eine Umgebungsbasis von   ist gegeben durch die Familie der abgebrochenen Kegel   mit  . Hierbei ist der „Kegel“   die Menge derjenigen Punkte  , für die der Winkel zwischen   und der durch den Basispunkt   und   verlaufenden Geodäte kleiner als   ist und der „abgebrochene Kegel“

 .

Die von dieser Umgebungsbasis erzeugte Topologie wird als Kegel-Topologie bezeichnet.

Isometrien (und allgemeiner Quasi-Isometrien) von   wirken stetig auf der Kompaktifizierung  .

Tits-Metrik

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Der Winkel-Abstand ist eine Metrik auf  , die im Fall euklidischer Räume die Standardmetrik der Sphäre, im Fall negativ gekrümmter Räume aber eine diskrete Metrik (je zwei Punkte haben Abstand  ) gibt. Die von dieser Metrik erzeugte Topologie stimmt (außer für den flachen  ) nicht mit der Kegeltopologie überein.

Der Winkel-Abstand (engl.: angle metric) zweier von geodätischen Strahlen   mit   repräsentierten Punkte   ist definiert als

 .

(Falls   keine Riemannsche Mannigfaltigkeit, sondern nur ein Hadamard-Raum ist, handelt es sich bei dem Winkel um den Winkel im jeweiligen Vergleichs-Dreieck.)

Insbesondere gilt   genau dann, wenn es eine Geodäte gibt, die für   zu   bzw.   asymptotisch ist.

Die Tits-Metrik   ist die zum Winkel-Abstand assoziierte innere Metrik.

  ist ein CAT(1)-Raum.[2]

Tits-Gebäude

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Es sei   ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ. Wir betrachten die Wirkung der Isometriegruppe   auf  . Der Stabilisator jeden Punktes ist eine parabolische Untergruppe von  , umgekehrt kommt jede parabolische Untergruppe von   als Stabilisator eines Punktes in   vor.[3]

Für eine echte parabolische Untergruppe   sei   die Menge aller von   festgelassenen Punkte in  . Man kann zeigen, dass   ein Simplex und dass das Innere dieses Simplexes die Menge der Punkte mit Stabilisator gleich   ist. Die Zerlegung als Simplizialkomplex

 

gibt   die Struktur eines sphärischen Tits-Gebäudes. Die Apartments des Tits-Gebäudes entsprechen den Rändern   maximaler Flachs  .

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Wir benutzen, dass sich in einem CAT(0)-Raum je zwei Punkte durch eine eindeutige Geodäte verbinden lassen.
  2. Bridson-Haefliger, op.cit, Theorem 9.20
  3. Borel-Ji, op.cit., Proposition I.2.6