Das geometrische Mittel oder die mittlere Proportionale ist derjenige Mittelwert, den man mithilfe der -ten Wurzel aus dem Produkt der betrachteten positiven Zahlen erhält. Das geometrische Mittel ist stets kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel. Verwendung findet es u. a. in der Statistik, der Finanzmathematik und auch in geometrischen Konstruktionen (siehe Abschnitt Anwendungsbeispiele).
Das geometrische Mittel der zwei Zahlen 1 und 2 zum Beispiel beträgt (arithmetisches Mittel = 1,5; die größere Zahl, hier: 2, wird beim geometrischen Mittel geringer bewertet).
Definition
BearbeitenDas geometrische Mittel der (reellen) positiven Zahlen ist gegeben durch die -te Wurzel des Produkts der Zahlen:[1][2]
Analog zum gewichteten arithmetischen Mittel definiert man ein gewichtetes geometrisches Mittel mit Gewichten :
- , [3]
Eigenschaften
BearbeitenIm Gegensatz zum arithmetischen Mittel ist das geometrische Mittel nur für positive Zahlen definiert.
Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel besagt, dass
- ,
also dass das geometrische Mittel nie größer als das arithmetische Mittel ist.
Der Logarithmus des geometrischen Mittels ist das arithmetische Mittel der Logarithmen, wobei die Basis des Logarithmus beliebig gewählt werden darf:
woraus sich eine praktikable Rechenmethode für große ergibt.
Das arithmetisch-geometrische Mittel ist eine Zahl, die zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegt.
Außerdem gilt für und
mit dem arithmetischen und dem harmonischen Mittel.
Geometrische Interpretationen
Bearbeiten- Gemäß der obigen Darstellung entsteht durch den Thaleskreis ein rechtwinkliges Dreieck ACD. Mithilfe des Höhensatzes können wir dann berechnen zu , was genau der Formel für das geometrische Mittel entspricht.[4][5]
- Das geometrische Mittel zweier Zahlen und liefert die Seitenlänge eines Quadrates, das den gleichen Flächeninhalt hat wie das Rechteck mit den Seitenlängen und . Diese Tatsache wird durch die geometrische Quadratur des Rechtecks veranschaulicht.
- Genauso entspricht das geometrische Mittel bei drei Zahlen der Seitenlänge eines Würfels, der volumengleich ist zu dem Quader mit den drei Seitenlängen (siehe Bild: Quader und Würfel), und entsprechend im -dimensionalen bei Zahlen den Seitenlängen von Hyperwürfeln.
- Auch mithilfe von Linien auf bzw. an einem Kreis lässt sich das geometrische Mittel erkennen:
- Gegeben sei ein Kreis mit den Sehnen und , der Tangente in und der zu senkrechten Strecke , wobei Punkt des Kreises und Punkt der Tangente ist. habe die Länge , die Länge und sei der Durchmesser. Dann ist und damit das geometrische Mittel von und (siehe Bild: Planfigur).
- Beweis:
- Da die Dreiecke und in einem rechten Winkel und einem Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen übereinstimmen, sind sie ähnlich zueinander. Also gilt und nach Umformung . Hieraus folgt , was zu beweisen war.[6]
Anwendungsbeispiele
Bearbeiten- Für die Herstellung eines Würfels, der exakt das doppelte Volumen eines anderen Würfels haben soll – einer sogenannten Würfelverdoppelung – bedarf es des geometrischen Mittels, sprich der zwei mittleren Proportionalen zweier Größen, z. B. bestimmt mithilfe eines mechanischen Werkzeugs.
- Das geometrische Mittel zweier Werte ist , z. B. von und : .
- Von einer 0,1 molaren Lösung und einer 10 molaren Lösung werden Eigenschaften bestimmt, die sich konzentrationsabhängig einem linearen Zusammenhang folgend verändern. Um eine Lösung zu erhalten, die durchschnittliche Eigenschaften besitzt, muss das geometrische Mittel gebildet werden, das in diesem Fall = 1 ist. Der arithmetische Mittelwert hingegen würde eine 5,05 molare Lösung beschreiben, die vorwiegend die Eigenschaften der 10 molaren Lösung aufweist, sich also gar nicht durchschnittlich verhält.
- Dem Goldenen Schnitt liegt das geometrische Mittel zugrunde.
- Sowohl in der Näherungskonstruktion der Quadratur des Kreises nach Srinivasa Ramanujan (1914) als auch in der Konstruktion des Siebzehnecks aus dem Jahr 1806 findet das geometrische Mittel Anwendung.
- Ein Guthaben wird im ersten Jahr mit zwei Prozent, im zweiten Jahr mit sieben und im dritten Jahr mit fünf Prozent verzinst. Welcher über die drei Jahre konstante Zinssatz hätte zum Schluss das gleiche Kapital ergeben?
Das Guthaben am Ende des dritten Jahres beträgt
oder mit Zinsfaktoren geschrieben
Mit konstantem Zinssatz und zugehörigen Zinsfaktor ergibt sich am Ende ein Guthaben von
Mit ergibt sich
und damit berechnet sich der durchschnittliche Zinsfaktor zu
Der durchschnittliche Zinssatz beträgt also ca. . Allgemein ist der durchschnittliche Zinsfaktor also das geometrische Mittel der Zinsfaktoren der einzelnen Jahre. Wegen der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist der durchschnittliche Zinssatz kleiner oder bestenfalls gleich dem arithmetischen Mittel der Zinssätze, welches in diesem Beispiel beträgt. Der mittlere Zins-Faktor errechnet sich als geometrisches Mittel; der mittlere Zins-Satz lässt sich als f-Mittel darstellen (siehe f-Mittel).
Statistik
BearbeitenIn der Statistik können Mittelwerte von absoluten Häufigkeiten oder relativen Häufigkeiten mithilfe des gewichteten geometrischen Mittels berechnet werden.
Bei Verwendung von relativen Häufigkeiten werden diese als Gewichte verwendet. Es gilt dann: , woraus folgt
- .[7]
Wenn absolute Häufigkeiten als Gewichte verwendet werden, erhält man den Mittelwert
- .[7]
Hölder-Mittel
BearbeitenOhne Gewichtung
BearbeitenDas geometrische Mittel ergibt sich als Spezialfall des Hölder-Mittels für .[8]
Die Definition des (ungewichteten) Hölder-Mittels für lautet: .
Das können wir umformen zu
- .
Mit Hilfe der Regel von de L’Hospital und Anwendung der Logarithmengesetze vereinfacht sich der Exponent zu .
Wir setzen in den ursprünglichen Term ein und erhalten die Definition des geometrischen Mittelwertes
- .
Mit Gewichtung
BearbeitenMan kann durch Grenzwertbildung des gewichteten Hölder-Mittels ebenfalls das gewichtete geometrische Mittel erhalten
- .[9]
Dafür muss man beachten, dass man beliebige Gewichte normieren kann und (um die Regel von de L’Hospital anwenden zu können) statt einsetzen muss.
Mit ergibt sich wiederum das ungewichtete geometrische Mittel.
Siehe auch
Bearbeiten- Arithmetisches Mittel
- Harmonisches Mittel
- Hölder-Mittel, Verallgemeinerung des geometrischen Mittelwerts
- Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel
Weblinks
BearbeitenEinzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Guido Walz [Red.]: Lexikon der Mathematik. 2. Band: Eig bis Inn. 2-te Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2017, ISBN 978-3-662-53503-5, S. 277
- ↑ Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 20.
- ↑ Alan Anderson: Business Statistics for Dummies. John Wiley & Sons, 2014, ISBN 978-1-118-78449-5, S. 46.
- ↑ Eckard Specht: A.14 Das arithmetische Mittel. Universität Magdeburg, abgerufen am 25. April 2020.
- ↑ Euklid: Stoicheia (Euklids Elemente) VI.13. Zu zwei Strecken die Strecke finden, die sich zu ihnen verhält wie das mittlere Glied in fortlaufend gleicher Proportion. Abgerufen am 20. November 2018
- ↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seite 57
- ↑ a b Geometrisches Mittel. In: Mathebibel.de. Abgerufen am 17. August 2019.
- ↑ Feng Qi: Generalized abstract mean values. S. 1, abgerufen am 17. August 2019 (englisch).
- ↑ Feng Qi: Generalized abstract mean values. S. 3, abgerufen am 17. August 2019 (englisch).