Gewicht (Darstellung)

lineare Abbildungen in der Darstellungstheorie der Lie-Algebren

In der Darstellungstheorie der Lie-Algebren, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Gewichte gewisse lineare Abbildungen. Sie sind unter anderem deshalb von Bedeutung, weil Darstellungen von Lie-Gruppen und Lie-Algebren durch ihr höchstes Gewicht klassifiziert werden.

Definition

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Sei   eine Lie-Algebra,   eine Cartan-Unteralgebra und   eine Darstellung. Eine lineare Abbildung

 

heißt Gewicht von  , wenn der Gewichtsraum

 

nicht nur aus dem Nullvektor besteht.

Entsprechend ist ein Gewicht für eine Darstellung   einer Lie-Gruppe   mit maximalem Torus   ein Homomorphismus  , so dass der Gewichtsraum

 

nicht nur aus dem Nullvektor besteht.

Beispiel

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Sei  ,   die Unteralgebra der Diagonalmatrizen und   die definierende Darstellung von  . Dann gibt es   Gewichte von  , nämlich die linearen Abbildungen

 

für  .

Literatur

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  • James E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory. 3rd printing, rev. Graduate Texts in Mathematics 9. New York – Heidelberg – Berlin: Springer-Verlag, 1980.