Godbillon-Vey-Invariante

In der Mathematik ist die Godbillon-Vey-Invariante eine Invariante von Blätterungen.

Definition

Sei ${\mathcal {F}}$ eine glatte, transversal orientierbare, $(n-q)$-dimensionale Blätterung einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $M$. Ihr tangentiales Hyperebenenfeld $E\subset TM$ lässt sich (lokal) als Nullstellenmenge einer $q$-Form

$\omega \in \Omega ^{q}(M)$

beschreiben und es gibt (lokal) eine $1$-Form $\eta \in \Omega ^{1}(M)$ mit

$d\omega =\omega \wedge \eta$.

Die Godbillon-Vey-Invariante der Blätterung ${\mathcal {F}}$ ist definiert als

$gv({\mathcal {F}}):=\int _{M}\eta \wedge (d\eta )^{q}$.

Die Definition ist unabhängig von der Wahl von $\omega$ und $\eta$.

Satz von Duminy

Ein Blatt $L$ einer Blätterung ${\mathcal {F}}$ heißt resilient, wenn es nicht eigentlich eingebettet ist und nichttriviale Holonomie hat.

Die Godbillon-Vey-Invariante von Kodimension-1-Blätterungen misst in folgendem Sinne die Resilienz von Blättern.

Satz von Duminy: Sei ${\mathcal {F}}$ eine glatte, transversal orientierbare, $(n-1)$-dimensionale Blätterung einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $M$. Wenn kein Blatt von ${\mathcal {F}}$ resilient ist, dann ist

$gv({\mathcal {F}})=0$.

Literatur

• A. Candel and L. Conlon, Foliations. I, American Mathematical Society, Providence, RI, 2000.
• Godbillon, Vey Un invariant des feuilletages de codimension 1, Compte Rendu Academie des Sciences, Paris, Band 273, 1971, S. 273–292
• Étienne Ghys L´invariant de Godbillon-Vey, Séminaire Bourbaki 706, 1988/89