Haefliger-Zeeman unknotting theorem

Das Haefliger-Zeeman unknotting theorem (deutsch etwa: Entknotungssatz von Haefliger und Zeeman) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialtopologie. Er gibt leicht nachprüfbare Bedingungen, wann sich zwei Einbettungen einer Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ ineinander verformen lassen (d. h. zueinander isotop sind). Es ist nach André Haefliger und E. C. Zeeman benannt.

Voraussetzungen

Eine Isotopie von Einbettungen des Intervalls in die Ebene.

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Sie heißt $k$-zusammenhängend falls die Homotopiegruppen $\pi _{i}M$ für alle $i\leq k$ trivial sind. Eine Einbettung

$f\colon M\to \mathbb {R} ^{n}$

in den euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{m}$ ist eine differenzierbare Abbildung, die eine Immersion und eine topologische Einbettung, d. h. ein Homöomorphismus auf ihr Bild (insbesondere injektiv) ist.

Zwei Einbettungen $f_{0},f_{1}$ heißen isotop, wenn es eine glatte Homotopie

$H\colon M\times \left[0,1\right]\to \mathbb {R} ^{n}$

mit $H(.,0)=f_{0},H(.,1)=f_{1}$ gibt, so dass für jedes $t\in \left[0,1\right]$ die Abbildung $H(.,t)\colon M\to \mathbb {R} ^{n}$ eine Einbettung ist.

Satz von Haefliger-Zeeman

Für $m\geq 2k+2$ und $n\geq 2m-k+1$ sind alle Einbettungen $k$-zusammenhängender $m$-dimensionaler Mannigfaltigkeiten in den $\mathbb {R} ^{n}$ zueinander isotop.

Spezialfälle

Diese Einbettung des Kreises ist nicht isotop zum Unknoten.

Zusammenhängende Mannigfaltigkeiten

Im Fall $k=0$ erhält man: für $m\geq 2$ und $n\geq 2m+1$ sind alle Einbettungen zusammenhängender $m$-dimensionaler Mannigfaltigkeiten in den $\mathbb {R} ^{n}$ zueinander isotop.

Dieser Satz stimmt nicht für $m=1$: es gibt zahlreiche nicht zueinander isotope Knoten im $\mathbb {R} ^{3}$.

Einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten

Im Fall $k=1$ erhält man: für $m\geq 4$ und $n\geq 2m$ sind alle Einbettungen einfach zusammenhängender $m$-dimensionaler Mannigfaltigkeiten in den $\mathbb {R} ^{n}$ zueinander isotop.

Literatur

• Roger Penrose, J. H. C. Whitehead, E. C. Zeeman, Imbedding of manifolds in Euclidean space, Ann. of Math. 73 (1961) 613–623.
• A. Haefliger, Plongements différentiables de variétés dans variétés, Comment. Math. Helv.36 (1961), 47–82.
• E. C. Zeeman, Isotopies and knots in manifolds, Topology of 3-manifolds and related topics (Proc. The Univ. of Georgia Institute, 1961), Prentice-Hall (1962), 187–193.
• M. Irwin, Embeddings of polyhedral manifolds, Ann. of Math. (2) 82 (1965) 1–14.
• J. F. P. Hudson, Piecewise linear topology, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969.