Heisenberg-Gruppe

Gruppe von Matrizen

Als Heisenberg-Gruppe bezeichnet man in der Mathematik eine bestimmte Gruppe von Matrizen sowie Verallgemeinerungen davon. Jede Heisenberg-Gruppe besitzt eine topologische Struktur und ist eine Lie-Gruppe.

Die Heisenberg-Gruppe wurde von Hermann Weyl eingeführt, um in der Quantenmechanik die Äquivalenz von Heisenberg-Bild und Schrödinger-Bild zu erklären.

Definition

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Obere 3×3-Dreiecksmatrizen der Form

 

mit Einträgen  ,   und  , die einem (beliebigen) kommutativen Ring entstammen können, bilden eine Gruppe unter der üblichen Matrizenmultiplikation, die so genannte Heisenberg-Gruppe. Die Einträge entstammen dabei oft dem Ring der reellen Zahlen oder dem der ganzen Zahlen.

Eigenschaften

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Man kann die Heisenberg-Gruppe mit Einträgen aus   als zentrale Erweiterung der Gruppe   auffassen, was man am besten sieht, wenn man auf   durch

 

eine Gruppenmultiplikation definiert und

 

beachtet.

Lie-Algebra

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Die Lie-Algebra der Heisenberg-Gruppe ist die Heisenberg-Algebra.

Anwendung

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In der Quantenmechanik hat die Heisenberg-Gruppe die Funktion einer Symmetriegruppe.

Verallgemeinerungen

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Es gibt höherdimensionale verallgemeinerte Heisenberg-Gruppen. Als Matrizengruppe besteht die  -te Heisenberg-Gruppe aus den quadratischen oberen Dreiecksmatrizen der Größe   der Gestalt

 

wobei   ein Zeilenvektor der Länge  ,   ein Spaltenvektor der Länge   und   die  -Einheitsmatrix ist.