Hilbert-Schema

In der algebraischen Geometrie parametrisiert das Hilbert-Schema die Unterschemata des projektiven Raums.

Hilbert-Funktor

Für ein Polynom $P$ ordnet der Hilbert-Funktor

$h_{P}\colon \mathbf {Schemes} ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Sets}$

jedem Schema $B$ die Menge der über $B$ flachen Unterschemata ${\mathcal {X}}\subset P_{B}^{n}$, deren Fasern über Punkten aus $B$ Hilbert-Polynom $P$ haben, zu.

Hilbert-Schema

Für ein Polynom $P$ ist das Hilbert-Schema ${\mathcal {H}}_{P}$ das den Funktor $h_{P}$ darstellende Schema. $h_{P}$ ist also der Punktfunktor von ${\mathcal {H}}_{P}$.

Die Eindeutigkeit von ${\mathcal {H}}_{P}$ folgt aus dem Lemma von Yoneda, während die Existenz das Ergebnis einer schwierigen Konstruktion ist.

Beispiele

Graßmann-Schemata

→ Hauptartikel: Graßmann-Schema

Das Graßmann-Schema $G(d,n)$ parametrisiert die Unterschemata von Grad 1 und Dimension $d$ in $P_{S}^{n}$ für $S=\mathbb {Z} \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]$. Dies sind aber genau die Schemata, deren Hilbert-Polynom $H_{x}(m)=\left({\begin{array}{c}m+d\\d\end{array}}\right)$ ist. Das Graßmann-Schema ist also das Hilbert-Schema zu diesem Polynom.

Hilbert-Schema für Hyperflächen

Die Hyperflächen vom Grad $d$ im $P_{K}^{n}$ werden parametrisiert durch den projektiven Raum des Vektorraums der homogenen Polynome vom Grad $d$ in $n+1$ Variablen. Dieser projektive Raum ist das Hilbert-Schema der Hyperflächen vom Grad $d$.