Hillsche Differentialgleichung

Die Hillsche Differentialgleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form

$\ y''(x)+q(x)y(x)=0$

wobei $q(x)$ eine periodische Funktion ist. Sie ist nach George William Hill benannt und insbesondere für Probleme aus der Schwingungslehre von Bedeutung.

Sie hat für praktisch interessierende Fälle Lösungen der Form

$y(x)=C_{1}e^{\mu _{1}x}y_{1}(x)+C_{2}e^{\mu _{2}x}y_{2}(x)$

mit $\mu _{1}$ und $\mu _{2}$ als so genannte charakteristische Exponenten.

Spezialfälle

Für die Parameterfunktion

$q(x)=q_{o}+\Delta q\cdot \cos(x)$

geht die Hillsche Differentialgleichung in eine Mathieusche Differentialgleichung über.

Für die Parameterfunktion

$q(x)=q_{o}+\Delta q\cdot \operatorname {sgn}(\cos(x))$

geht die Hillsche Differentialgleichung in eine Meißnersche Differentialgleichung über.

Siehe auch

• Parametrischer Oszillator
• Sturm-Liouville-Problem