Mathieusche Differentialgleichung

Als Mathieusche Differentialgleichung wird eine spezielle lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung bezeichnet. Die DGL ist nach dem Mathematiker Émile Léonard Mathieu benannt und ist ein Spezialfall der Hillschen Differentialgleichung mit der Parameterfunktion

Lösungen der Mathieuschen Differentialgleichung – meist in Normalform bzw. der unten angegebenen alternativen Darstellung – werden als Mathieu-Funktionen bezeichnet.

Normalform

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Die Gleichung wird in der Literatur in unterschiedlicher Form dargestellt. Eine als Normalform bezeichnete Gleichung[1] hat die Gestalt

 

Ist   eine Funktion der Zeit

 

so stehen die Abkürzungen   und   für

 

Alternative Darstellung

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Die DGL wird unter anderem auch folgendermaßen angegeben[2][3]

 

oder

 

Lösungseigenschaften

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Die Mathieusche Differentialgleichung lässt sich als lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit zwei Gleichungen darstellen:

 

Die Koeffizientenmatrix ist hier  -periodisch. Nach dem Satz von Floquet lässt sich die Fundamentalmatrix beschreiben als

 

Dabei ist   und   ebenfalls  -periodisch. Durch die Berechnung der jordanschen Normalform der Matrix   ergeben sich zwei Fälle:

  1.   hat zwei verschiedene (komplexe) Eigenwerte  : In diesem Fall sind die Lösungen von der Form   und  , wobei   jeweils  -periodisch sind.
  2.   hat einen einzigen Eigenwert  : Hier sind die Lösungen von der Gestalt   und   mit einer  -periodischen Funktion  .

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Kurt Magnus: Schwingungen: Eine Einführung in die physikalischen Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen. 8., überarb. Auflage, Vieweg+Teubner, 2008, Kapitel 4, ISBN 3-8351-0193-5.
  2. NIST Digital Library of Mathematical Functions: Mathieu Functions and Hill’s Equation (englisch)
  3. Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme. Springer, 2008, Kapitel 11.7, ISBN 3-540-79294-5.
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