Hopf-Fläche

In der Mathematik ist die Hopf-Fläche eine gewisse 4-Mannigfaltigkeit. Sie wurde 1948 von Heinz Hopf gefunden als erstes Beispiel einer komplexen Fläche, die keine Kähler-Fläche ist.

Konstruktion

Die zyklische Gruppe $\mathbb {Z}$ wirke frei und eigentlich diskontinuierlich auf $\mathbb {C} ^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\}$, zum Beispiel durch

$n\cdot (z_{1},z_{2})=(2^{n}z_{1},2^{n}z_{2})$ für $n\in \mathbb {Z} ,(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}$.

Dann wird der Quotientenraum $\mathbb {Z} \backslash (\mathbb {C} ^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\})$ als Hopf-Fläche bezeichnet.

Eigenschaften

Eine Hopf-Fläche ist homöomorph zu $S^{1}\times S^{3}$, insbesondere kompakt. Sie ist eine komplexe Fläche. Weil die erste Betti-Zahl $b_{1}=1$ ungerade ist, kann sie keine Kähler-Metrik besitzen. Insbesondere ist sie keine algebraische Fläche.

Die Abbildung $\left[(z_{1},z_{2})\right]\to \left[z_{1}\colon z_{2}\right]$ definiert eine Faserung der Hopf-Fläche über der projektiven Gerade, deren Fasern elliptische Kurven sind.

Literatur

• H. Hopf: Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten. Studies Essays, pres. to R. Courant, 167–185 (1948).