Komplexe Fläche

Mathematische Definition komplexer Flächen

In der Mathematik sind komplexe Flächen lokal nach modellierte -dimensionale Mannigfaltigkeiten, deren Kartenwechsel holomorph sind.

Eine projektive analytische Fläche ist eine komplexe Fläche, die in einen komplex-projektiven Raum eingebettet werden kann. Eine komplexe algebraische Fläche ist eine komplexe Fläche, die durch polynomielle Gleichungen in einem komplex-projektiven Raum definiert wird. Nach dem Satz von Chow sind alle projektiven analytischen Flächen algebraisch. Die Hopf-Fläche ist ein Beispiel einer komplexen Fläche, die nicht projektiv analytisch ist.

Kurven auf Flächen

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Eine irreduzible Kurve auf einer komplexen Fläche ist eine (evtl. singuläre) geschlossene, komplex  -dimensionale Untermannigfaltigkeit, die nicht als Vereinigung zweier solcher Untermannigfaltigkeiten zerlegt werden kann. Nach dem Satz von Lefschetz über  -Klassen ist eine Kohomologieklasse in   genau dann eine ganzzahlige Linearkombination von Kurven, wenn sie zu   gehört.

Für nichtsinguläre Kurven   gilt die Adjunktionsformel  .

Geradenbündel auf Flächen

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Jede Klasse in   entspricht einem glatten komplexen Geradenbündel, aber nur Klassen in   sind Chern-Klassen holomorpher Geradenbündel. Wenn   ist, dann ist die Isomorphieklasse eines holomorphen Geradenbündels durch seine Chern-Klasse festgelegt.

Für einen meromorphen Schnitt   bezeichnen   und   die aus den Null- bzw. Polstellen bestehenden Kurven, dann repräsentiert die Linearkombination   die Chern-Klasse des Geradenbündels. Das holomorphe Geradenbündel hat genau dann einen holomorphen Schnitt, wenn die Chern-Klasse eine Linearkombination mit positiven Koeffizienten aus Kurven in der Fläche ist. Die Dimension des Raums der holomorphen Schnitte lässt mit dem Satz von Riemann-Roch abschätzen.

Für das kanonische Bündel einer komplexen Fläche folgt aus dem Signatursatz von Hirzebruch  .

Ein Geradenbündel   heißt nef („numerically eventually free“), wenn   für alle Kurven   gilt.

Enriques-Kodaira-Klassifikation

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Sei   eine einfach zusammenhängende komplexe Fläche. Dann gibt es eine Folge von Blow-Downs   so dass entweder

  •   ist nef (in diesem Fall heißt   das minimale Modell von  ), oder
  •   ist ein  -Bündel über   (in diesem Fall ist   eine Regelfläche), oder
  •   (in diesem Fall ist   eine rationale Fläche).

Für die minimalen Modelle, also für einfach zusammenhängende komplexe Flächen, deren kanonisches Bündel nef ist, hat man:

  • wenn   für jede Kurve   gilt, dann ist   eine K3-Fläche,
  • wenn es eine Kurve mit   und   gibt, dann ist   eine elliptische Fläche,
  • andernfalls heißt   Fläche allgemeinen Typs.

Literatur

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  • A. Scorpan: The wild world of 4-manifolds. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2005, ISBN 0-8218-3749-4/hbk