Hyperkählermannigfaltigkeit

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine Hyperkählermannigfaltigkeit eine $4n$-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren Holonomiegruppe eine Untergruppe der kompakten symplektischen Gruppe $Sp(n)$ ist. Äquivalent hat sie drei Kähler-Strukturen $I,J,K$, die den von den Quaternionen bekannten Relationen $I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-Id$ genügen.

Hyperkählermannigfaltigkeiten haben verschwindende Ricci-Krümmung und sind insbesondere Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Beispiele

• Die komplex 2-dimensionalen Hyperkählermannigfaltigkeiten sind die K3-Flächen und die komplexen Tori $\mathbb {C} ^{2}/\Gamma$.
• Hilbert-Schemata von Punkten auf K3-Flächen sind Hyperkählermannigfaltigkeiten.
• Verallgemeinerte Kummer-Flächen sind Hyperkählermannigfaltigkeiten.
• Wenn eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit holomorph symplektisch ist, dann ist sie eine Hyperkählermannigfaltigkeit.

Literatur

• N. Hitchin: Hyperkähler manifolds. Séminaire N. Bourbaki 34, S. 137–166