Identität von Ramanujan (Elementare Algebra)

In der Elementaren Algebra ist die Identität von Ramanujan eine einfache Formel, welche aus den binomischen Formeln und den Regeln für das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken hervorgeht. Sie wird dem indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan zugeschrieben, der diese Formel in seinen berühmten Notebooks festhielt. Die ramanujansche Identität lässt sich auch als Lehrsatz der Dreiecksgeometrie deuten.[1]

Formulierung der Identität

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Für zwei reelle Zahlen   gilt stets die Gleichung
 

Geometrische Deutung

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Gegeben sei in der euklidischen Ebene ein rechtwinkliges Dreieck   mit der Hypotenuse   und mit   und   als Katheten.
Auf   seien beide Katheten mit dem Zirkel abgetragen, so dass   in drei Teilstrecken   zerlegt werde, wobei   zwischen   und   liege und   zwischen   und   .
Dann gilt die Gleichung:
    .
Das bedeutet:
Das Quadrat der Länge der mittleren Teilstrecke   ist gleich dem Zweifachen des Produkts der Längen der beiden äußeren Teilstrecken   und   .
Mit anderen Worten:
Errichtet man das Quadrat über der mittleren Teilstrecke und bildet zugleich ein Rechteck, dessen Grundseiten in den Längen den beiden äußeren Teilstrecken entsprechen, so ist der Flächeninhalt des Quadrats gleich dem Zweifachen des Flächeninhalts des Rechtecks.

Einzelnachweise

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  1. Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History. 2012, S. 179, 369