Inkompressible Fläche

In der Mathematik sind inkompressible Flächen ein wichtiges Hilfsmittel der 3-dimensionalen Topologie. Durch Aufschneiden entlang inkompressibler Flächen können 3-dimensionale Mannigfaltigkeiten in einfachere Stücke zerlegt werden.

Definition

Sei $(M,\partial M)$ eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit mit (evtl. leerem) Rand und $(F,\partial F)\subset (M,\partial M)$ eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit, d. h. eine eigentlich eingebettete Fläche.

Inkompressible Fläche

Eine Kompressionsscheibe für $F$ ist eine eingebettete Kreisscheibe

$(D^{2},\partial D^{2})\subset (M,F)$,

so dass $F\cap D^{2}=\partial D^{2}$ in $F$ nicht homotop zu einer konstanten Abbildung ist.

Die Fläche $F$ heißt inkompressibel wenn

• $F\not =S^{2},D^{2},\mathbb {R} P^{2}$ und es keine Kompressionsscheibe für $F$ gibt, oder
• $F=D^{2}$ und $\partial F$ ist in $\partial M$ nicht homotop zu einer konstanten Abbildung.

Rand-inkompressible Fläche

Eine Rand-Kompressionsscheibe für $F$ ist ein eingebettetes Tripel $(D^{2},A,B)\subset (M,\partial M,F)$ mit $A\cup B=\partial D^{2},D^{2}\cap F=B$, so dass $D^{2}$ nicht (rel. $\partial D^{2}$) isotop zu einer Einbettung mit Bild in $\partial M\cup F$ ist, deren Bild $\partial M$ und $F$ jeweils in Kreisscheiben schneidet.

Die Fläche $F$ heißt $\partial$-inkompressibel wenn es keine Rand-Kompressionsscheibe für $F$ gibt.

Bei Mannigfaltigkeiten mit nichtleerem Rand wird häufig auch von inkompressiblen Flächen gesprochen, wenn Flächen gemeint sind, die im Sinne obiger Definitionen inkompressibel und rand-inkompressibel sind.

Fundamentalgruppe

Wenn $F$ eine inkompressible Fläche in $M$ ist, dann ist der von der Inklusion $i:F\rightarrow M$ induzierte Homomorphismus der Fundamentalgruppen

$i_{*}:\pi _{1}F\rightarrow \pi _{1}M$

injektiv. Für zweiseitige Flächen gilt auch die Umkehrung: eine zusammenhängende zweiseitige Fläche ist inkompressibel genau dann, wenn sie $\pi _{1}$-injektiv ist.

Existenz

Wenn $M$ eine kompakte irreduzible 3-Mannigfaltigkeit ist, dann gibt es zu jeder Homologieklasse

$z\in H_{2}(M,\partial M;\mathbb {Z} )$

eine (orientierbare, evtl. unzusammenhängende) inkompressible und $\partial$-inkompressible Fläche $F\subset M$, so dass

$i_{*}\left[F,\partial F\right]=z$.

Hierbei bezeichnet $i:(F,\partial F)\rightarrow (M,\partial M)$ die Inklusion und $\left[F,\partial F\right]\in H_{2}(F,\partial F;\mathbb {Z} )$ die Fundamentalklasse von $F$.

Satz von Haken

Der Satz von Haken besagt, dass Aufschneiden einer 3-Mannigfaltigkeit entlang einer inkompressiblen, rand-inkompressiblen Fläche die Haken-Komplexität der 3-Mannigfaltigkeit verringert. Dies wird in der 3-dimensionalen Topologie häufig benutzt, um Beweise mittels Induktion nach der Haken-Komplexität zu führen.

Minimalflächen

Nach einem Satz von Freedman, Hass und Scott ist jede inkompressible Fläche (in einer kompakten 3-Mannigfaltigkeit) isotop zu einer Minimalfläche vom Index 0.

Siehe auch

• Haken-Mannigfaltigkeit

Literatur

• William Jaco: Lectures on three-manifold topology. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 43. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1980. ISBN 0-8218-1693-4