V dreht den Definitionsbereich von Funktionen
T
→
C
{\displaystyle \mathbb {T} \to \mathbb {C} }
Im Folgenden sei
θ
{\displaystyle \theta }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
Hilbertraum
L
2
(
R
/
Z
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}
quadratintegrierbaren Funktionen , wobei wie üblich die Kreisgruppe
R
/
Z
{\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }
t
↦
e
2
π
i
t
{\displaystyle t\mapsto e^{2\pi it}}
T
=
{
z
∈
C
:
|
z
|
=
1
}
{\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}
unitären Operatoren
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
U
f
:=
z
f
{\displaystyle Uf\,:=\,zf}
z
(
t
)
=
e
2
π
i
t
{\displaystyle z(t)=e^{2\pi it}}
und
V
f
(
t
)
:=
f
(
t
−
θ
)
.
{\displaystyle Vf(t)\,:=\,f(t-\theta )\,.}
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
rotiert eine Funktion um den Winkel
θ
{\displaystyle \theta }
Die von
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
C
∗
(
U
,
V
)
⊂
B
(
L
2
(
T
)
)
{\displaystyle C^{*}(U,V)\subset B(L^{2}(\mathbb {T} ))}
irrationale Rotationsalgebra zum Winkel
θ
{\displaystyle \theta }
und wird mit
A
θ
{\displaystyle A_{\theta }}
[ D 1]
Leicht bestätigt man
U
V
=
e
2
π
i
θ
V
U
{\displaystyle UV=e^{2\pi i\theta }VU}
U
V
f
(
t
)
=
U
(
V
f
)
(
t
)
=
z
(
t
)
V
f
(
t
)
{\displaystyle UVf(t)=U(Vf)(t)=z(t)Vf(t)}
=
z
(
t
)
f
(
t
−
θ
)
=
e
2
π
i
θ
z
(
t
−
θ
)
f
(
t
−
θ
)
=
e
2
π
i
θ
(
z
f
)
(
t
−
θ
)
{\displaystyle =z(t)f(t-\theta )=e^{2\pi i\theta }z(t-\theta )f(t-\theta )=e^{2\pi i\theta }(zf)(t-\theta )}
=
e
2
π
i
θ
(
U
f
)
(
t
−
θ
)
=
e
2
π
i
θ
V
U
f
(
t
)
{\displaystyle =e^{2\pi i\theta }(Uf)(t-\theta )=e^{2\pi i\theta }VUf(t)}
Die irrationale Rotationsalgebra hat folgende universelle Eigenschaft, die sie bis auf Isomorphie charakterisiert: Ist
A
{\displaystyle A}
U
~
{\displaystyle {\tilde {U}}}
V
~
{\displaystyle {\tilde {V}}}
U
~
V
~
=
e
2
π
i
θ
V
~
U
~
{\displaystyle {\tilde {U}}{\tilde {V}}=e^{2\pi i\theta }{\tilde {V}}{\tilde {U}}}
A
θ
→
A
{\displaystyle A_{\theta }\rightarrow A}
U
↦
U
~
{\displaystyle U\mapsto {\tilde {U}}}
V
↦
V
~
{\displaystyle V\mapsto {\tilde {V}}}
[ D 2]
A
θ
{\displaystyle A_{\theta }}
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
Es gibt eine eindeutige Spur
τ
:
A
θ
→
C
{\displaystyle \tau :A_{\theta }\rightarrow \mathbb {C} }
lineares Funktional
τ
:
A
θ
→
C
{\displaystyle \tau :A_{\theta }\rightarrow \mathbb {C} }
τ
(
a
∗
a
)
≥
0
{\displaystyle \tau (a^{*}a)\geq 0}
a
∈
A
θ
{\displaystyle a\in A_{\theta }}
τ
(
a
b
)
=
τ
(
b
a
)
{\displaystyle \tau (ab)=\tau (ba)}
a
,
b
∈
A
θ
{\displaystyle a,b\in A_{\theta }}
τ
(
I
)
=
1
{\displaystyle \tau (I)=1}
I
{\displaystyle I}
Einselement in
A
θ
{\displaystyle A_{\theta }}
[ D 3] Die Gruppe der invertierbaren Elemente liegt dicht in
A
θ
{\displaystyle A_{\theta }}
[ 1] Die irrationalen Rotationsalgebren sind nuklear .
Hier wird eine alternative Konstruktion der irrationalen Rotationsalgebra auf dem Folgenraum
ℓ
2
=
ℓ
2
(
Z
)
{\displaystyle \ell ^{2}=\ell ^{2}(\mathbb {Z} )}
Orthonormalbasis
(
e
n
)
n
∈
Z
{\displaystyle (e_{n})_{n_{\in }\mathbb {Z} }}
U
,
V
∈
B
(
ℓ
2
)
{\displaystyle U,V\in B(\ell ^{2})}
U
e
n
=
e
n
+
1
{\displaystyle Ue_{n}\,=\,e_{n+1}}
zweiseitiger Shift ),
V
e
n
=
e
−
2
π
i
n
θ
e
n
{\displaystyle Ve_{n}\,=\,e^{-2\pi in\theta }e_{n}}
Diagonalmatrix ).
Dann bestätigt man leicht
U
V
e
n
=
e
−
2
π
i
n
θ
e
n
+
1
=
e
2
π
i
θ
V
U
e
n
{\displaystyle UVe_{n}=e^{-2\pi in\theta }e_{n+1}=e^{2\pi i\theta }VUe_{n}}
U
V
=
e
2
π
i
θ
V
U
{\displaystyle UV=e^{2\pi i\theta }VU}
A
θ
≅
C
∗
(
U
,
V
)
⊂
B
(
ℓ
2
)
{\displaystyle A_{\theta }\cong C^{*}(U,V)\subset B(\ell ^{2})}
Nach einem Satz von Marc Rieffel [ 2]
α
∈
(
Z
+
θ
Z
)
∩
[
0
,
1
]
{\displaystyle \alpha \in (\mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z} )\cap [0,1]}
P
∈
A
θ
{\displaystyle P\in A_{\theta }}
τ
(
P
)
=
α
{\displaystyle \tau (P)=\alpha }
τ
{\displaystyle \tau }
A
θ
{\displaystyle A_{\theta }}
Da
(
Z
+
θ
Z
,
(
Z
+
θ
Z
)
∩
R
+
,
(
Z
+
θ
Z
)
∩
[
0
,
1
]
)
{\displaystyle (\mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z} ,(\mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z} )\cap \mathbb {R} ^{+},(\mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z} )\cap [0,1])}
Geordnete abelsche Gruppe ), gibt es nach dem Satz von Effros-Handelman-Shen bis auf Isomorphie genau eine AF-C*-Algebra
A
θ
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\theta }}
K0 -Gruppe hat, und es liegt nahe die C*-Algebra
A
θ
{\displaystyle A_{\theta }}
A
θ
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\theta }}
M. Pimsner und D. Voiculescu eine Einbettung
A
θ
→
A
θ
{\displaystyle A_{\theta }\rightarrow {\mathcal {A}}_{\theta }}
[ 3]
K
0
(
A
θ
)
≅
Z
+
θ
Z
{\displaystyle K_{0}(A_{\theta })\cong \mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z} }
[ D 4]
Zwei irrationale Rotationsalgebren
A
θ
{\displaystyle A_{\theta }}
A
η
{\displaystyle A_{\eta }}
η
=
±
θ
m
o
d
Z
{\displaystyle \eta =\pm \theta \,\mathrm {mod} \,\mathbb {Z} }
Die irrationale Rotationsalgebra ist der Prototyp des Kreuzproduktes eines C*-dynamischen Systems . Ist
α
∈
A
u
t
(
C
(
T
)
)
{\displaystyle \alpha \in \mathrm {Aut} (C(\mathbb {T} ))}
(
α
(
f
)
)
(
t
)
:=
f
(
t
−
θ
)
{\displaystyle (\alpha (f))(t)\,:=\,f(t-\theta )}
σ
:
Z
→
A
u
t
(
C
(
T
)
)
,
n
↦
α
n
{\displaystyle \sigma :\mathbb {Z} \rightarrow \mathrm {Aut} (C(\mathbb {T} )),\,n\mapsto \alpha ^{n}}
(
C
(
T
)
,
Z
,
σ
)
{\displaystyle (C(\mathbb {T} ),\mathbb {Z} ,\sigma )}
A
θ
≅
C
(
T
)
⋉
σ
Z
{\displaystyle A_{\theta }\cong C(\mathbb {T} )\ltimes _{\sigma }\mathbb {Z} }
[ D 5]
↑ I. Putnam: The invertibles are dense in the irrational rotation C*-algebras , J. reine angewandte Mathematik, Band 140 (1990), Seiten 160–166
↑ M. A. Rieffel: C*-algebras associated with irrational rotations , Pacific J. Math., Band 93 (1981), Seiten 415–429
↑ M. Pimsner, D. Voiculescu: Imbedding the irrational rotation algebra into an AF algebra , Journal of Operator Theory, Band 4 (1980), Seiten 93–118
K. R. Davidson: C*-Algebras by Example , American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1 :
↑ Kapitel VI: Irrational Rotation Algebra
↑ Theorem VI.1.4
↑ Satz VI.1.3
↑ Korollar VI.5.3
↑ Beispiel VIII.1.1
![{\displaystyle \alpha \in (\mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z} )\cap [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444ebd973eeb42b7f7e60bc9db3f54156826a4c7)
![{\displaystyle (\mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z} ,(\mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z} )\cap \mathbb {R} ^{+},(\mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z} )\cap [0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67680f7b586063eda048337139f79c75909ccf63)
