John-Nirenberg-Ungleichung

Die John-Nirenberg-Ungleichung ist eine Abschätzung, die nach Fritz John und Louis Nirenberg benannt ist. Sie beschreibt, wie weit eine Funktion des BMO-Raums von ihrem Durchschnitt um einen bestimmten Betrag abweichen darf. Dabei kann man die folgenden zwei Sätze unterscheiden.

Allgemeine Bemerkungen

Für das Nachfolgende gilt im Sinne der Definition der BMO-Räume, dass $\mu \colon Q_{0}\rightarrow \mathbb {R} ^{N}$ eine integrierbare Funktion ist, für welche man die BMO-Seminorm

$[\mu ]_{*}=[\mu ]_{*,Q_{0}}:=\sup _{Q\subset Q_{0}}\int _{Q}^{}\left|\mu (x)-\mu _{Q}\right|dx$

setzt, wobei $Q_{0}$ für einen achsenparallelen Würfel in $\mathbb {R} ^{n}$ und $\mu _{Q}$ mit

$\mu _{Q}:={\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}\mu (x)\mathrm {d} x$

für den Durchschnittswert von $\mu$ auf dem Würfel $Q$ steht. Außerdem definiert man für $u\in BMO\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right),\sigma >0$ und $Q\subset Q_{0}$

$\Gamma _{\sigma ,Q}(\mu ):=\left\{x\in Q:\mid \mu (x)-\mu _{Q}\mid >\sigma \right\}$

John-Nirenberg I

Es gibt zwei positive Konstanten $\alpha$ und $A$, welche unabhängig von $\mu$ sind, sodass für alle $\mu \in$ $BMO\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)$ und $\sigma >0$ gilt:

$\left|\Gamma _{\sigma ,Q_{0}}(\mu )\right|\leqslant A\exp \left({\frac {-\alpha \sigma }{[\mu ]_{*,Q_{0}}}}\right)\left|Q_{0}\right|$

Bemerkung

Ist $\mu \in BMO\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)$, so gilt $\mu \in L^{p}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)$ für alle $p\geq 1$ und für jeden achsenparallelen Würfel $Q\subset Q_{0}$ erhält man:

$\int _{Q}^{}\mid \mu -\mu _{Q}\mid ^{p}dx\leqslant C[\mu ]_{*,Q}^{p}$

John-Nirenberg II

Angenommen für $\mu \in L^{1}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)$ existieren Konstanten $k>0$ und $p>1$, sodass jede Zerlegung $\left(Q_{j}\right)_{j\in \mathbb {N} }$ von $Q_{0}$ im Würfel $Q_{j}$ mit paarweise disjunktem Inneren (also ${\dot {Q}}_{j}\cap {\dot {Q}}_{i}=\varnothing$ mit $i\neq j$) gilt:

$\sum \limits _{j=1}^{\infty }\left|Q_{j}\right|\left(\int \limits _{Q_{j}}^{}\left|\mu -\mu _{Q_{j}}\right|dx\right)^{p}\leqslant k^{p}$

Man bezeichne nun mit $[\mu ]_{p,Q_{0}}$ die kleinste Konstante mit dieser Eigenschaft, dann gilt mit einer Konstante $A=A(\mu ,p)$:

$\left|\Gamma _{\sigma ,Q_{0}}(\mu )\right|=\left|\left\{x\in Q_{0}:\left|\mu (x)-\mu _{Q_{0}}\right|>\sigma \right\}\right|\leqslant A\left({\frac {[\mu ]_{{p},Q_{0}}}{\sigma }}\right)^{p}$

Literatur

• Kinnunen, J; Myyryläinen, K; Yang, D: John–Nirenberg inequalities for parabolic BMO. Mathematische Annalen, Springer Verlag, vol. 387, Seite 1125–1162, 2023
• Chul Pak, H: On the John–Nirenberg inequality. Journal of Inequalities and Applications, Article 130, 2020