Diskussion:John-Nirenberg-Ungleichung

Fehlende Informationen

Ich verstehe diese Ungleichungen nicht. Das liegt sicher daran, dass einige Formelteile nicht erläutert werden. Daher sollten zur Ungleichung I mindestens noch folgende Informationen hinzugefügt werden:

• Was ist $\Gamma _{\sigma ,Q_{0}}(\mu )$?
• Was ist $[\mu ]_{*,Q_{0}}$? Wahrscheinlich irgendeine Mittelung von $\mu$?
• $Q_{0}$ soll wahrscheinlich ein achsenparalleler Quader oder Würfel sein. Stimmt das?
• Hängen $\alpha$ und $A$ von $Q_{0}$ und $N$ ab?

Die daraus resultierende Bemerkung bleibt daher auch unklar. Bei der Gleichung II gibt es in der Formulierung grammatische Probleme, so dass völlig unklar bleibt, wie die ganzen Größen zusammenhängen. Sollen $k$ und $p$ von $\mu$ abhängen und/oder auch von $Q_{0}$? Auch hier sind die Bestandteile der Ungleichung nicht sauber definiert. --FerdiBf (Diskussion) 11:53, 11. Dez. 2024 (CET)

Vielen Dank für die Ergänzung, aber ich verstehe sie nicht. Was ist $\mu _{Q}$? Wahrscheinlich ist $\textstyle \int _{Q}\mu \mathrm {d} x$ gemeint, aber das steht da nicht. Dann steht da noch, dass $\mu$ durch $[\mu ]_{*,Q_{0}}$ definiert sei. Das ist ganz sicher nicht gemeint. Damit ein Leser mit etwas mathematischen Vorkenntnissen das verstehen kann, müssten die Abhängigkeiten schon sauber formuliert sein.

--FerdiBf (Diskussion) 09:24, 17. Dez. 2024 (CET)

Hi @FerdiBf,

Danke dir für deine Bemerkungen - damit dass dies so für jemanden, dem die Notation nicht bekannt ist, unverständlich ist hast du natürlich vollkommend recht. In meiner gestrigen Ergänzung war in der Tat noch ein grober sprachlicher Fehler (anstatt "definiert" sollte es "setzt man" heißen - das habe ich nun behoben). Mit $\mu _{Q}$ ist tasächlich $\mu _{Q}={\frac {1}{|Q|}}\int \limits _{Q}\mu (x)\mathrm {d} x$ gemeint (the average value of $\mu$ on the cube Q) - Für mich wäre das aufgrund des Verweises der Definition des BMO-Raums klar gewesen, aber ich werde das später gerne auch noch ergänzen :).

Wäre es somit für dich dann für dich klar verständlich, oder übersehe ich dann immer noch etwas? --Quaxi07 (Diskussion) 15:25, 17. Dez. 2024 (CET)

Die Konstanten $\alpha$ und $A$ sind wahrscheinlich nicht universell sondern es gibt zu jedem achsenparallelen Würfel solche Konstanten. Das sollte auch klar aus der Formulierung hervorgehen. Anderenfalls könnte man ja Abschätzungen für die Konstanten angeben. Bei angenommener Abhängigkeit von $Q_{0}\subset \mathbb {R} ^{N}$, und damit implizit von $N$ wäre es schön, wenn im Falle des Einheitswürfels konkrete Zahlen zu sehen, falls solche bekannt sind. Die Abhängigkeiten für die zweite Ungleichung sind leider noch nicht zufriedenstellend formuliert. Schließlich erinnern diese Ungleichungen an die Tschebyscheffsche Ungleichung. Kann man da einen Zusammenhang herstellen? --FerdiBf (Diskussion) 15:44, 17. Dez. 2024 (CET)

Die beiden Konstanten sind von $\mu$ unabhängig - das habe ich schon ergänzt. Konkrete Zahlen im Falle des Einheitswürfels und der potenzielle Zusammenhang zur Tschebyscheff-Ungleichung ist mir jetzt leider nicht direkt bekannt (dazu kann ich jetzt erstmals nichts ergänzen). --Quaxi07 (Diskussion) 20:30, 17. Dez. 2024 (CET)

Hallo! Wenn ich das richtig verstehe, dann ist $[\mu ]_{*}$ die Norm (oder Halbnorm) im BMO-Raum. Ist das richtig? Falls ja, dann könnte man das nochmal so deutlich in den Artikel schreiben. Warum schreibt man hier noch die Abhängigkeit $Q_{0}$ dazu? Die Funktion $\mu$ ist ja auf $Q_{0}$ definiert, damit ist das doch implizit klar, oder? --Christian1985 (Disk) 20:49, 17. Dez. 2024 (CET)

Mit $BMO\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)$ bezeichnet man den Raum aller $\mu \in L^{1}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)$ mit $[\mu ]_{*}<\infty$ --Quaxi07 (Diskussion) 21:09, 17. Dez. 2024 (CET)

@FerdiBf

Wäre jetzt aus deiner Sicht, mit den weiteren Ergänzungen, zumindest die erste Ungleichung Verständlich? --Quaxi07 (Diskussion) 19:57, 13. Jan. 2025 (CET)

Vielen Dank erstmal für die allgemeinen Bemerkungen. Ich habe mir erlaubt, diese ein wenig umzustellen. Die Abhängigkeiten sind in der Ungleichung aber immer noch nicht ganz klar formuliert. Dort heißt es, Konstanten hängen nicht von $\mu$ ab, aber was ist mit $\sigma$? Schön wäre eine Formulierung der Form: Es gibt nur von ... abhängige Konstanten ..., so dass ... für alle ...

In der Bemerkung zur ersten Ungleichung tritt die Konstante $C$ auf. Hängt die von $p$ ab? --FerdiBf (Diskussion) 08:22, 14. Jan. 2025 (CET)

@FerdiBf

Hab heute bei der Bemerkung nochmals was angepasst :). Bezüglich $\mu$ und $\sigma$ weiß ich jetzt leider immer noch nicht, wie ich die offene Frage der Abhängigkeit klären soll (in der mir bekannten Literatur habe ich dazu nichts genaueres gefunden). Ich denke aber mal, das $\sigma$, genauso wie $\mu$, in keiner direkten Abhängigkeit mit den beiden Konstanten steht, sondern universell für den BMO-Raum definiert ist (man siehe dazu den unteren Teil der allgemeinen Bemerkungen).

Vielleicht findet sich ja irgendwann noch wer anderes der das präzisieren kann :) --Quaxi07 (Diskussion) 21:16, 14. Jan. 2025 (CET)

Es könnte so sein, dass die Konstanten nur von der Dimension des Würfels abhängen. Kannst Du bitte für die angegebenen Ungleichungen genaue Literatur-Zitate einfügen. Dann könnte ich mir das mal näher anschauen. Ansonsten müsstest Du einen Löschantrag stellen, denn wir sollten hier keinen Artikel über eine Ungleichung haben, die wir nicht präzisieren können. --FerdiBf (Diskussion) 08:34, 15. Jan. 2025 (CET)

Hi @FerdiBf,

Damit, dass die Konstanten nur von der Dimension des Würfels (bzw. des Raums) abhängen, sind wir nun schonmal d'accord. Ich habe jetzt auch endlich eine Quelle gefunden, die darauf eingeht (https://x0b.de/texte/BMO.pdf?utm_source=chatgpt.com) - siehe hierbei Seite 5, Satz 8!

Wir wäre es dann mit der Formulierung "Es gibt zwei positive Konstanten $\alpha$ und $A$, welche nur von der Dimension des Würfels (oder Raumes) abhängen, .....? --Quaxi07 (Diskussion) 13:33, 15. Jan. 2025 (CET)

@FerdiBf:

Ich habe jetzt die Abhängigkeit der beiden Konstanten, mit Beleg, im Artikel klargestellt. Wenn es jetzt dann keine weiteren Unklarheiten mehr geben sollte, dann können wir ja den Hinweis der Allgemeinverständlichkeit wieder entfernen, oder? --Quaxi07 (Diskussion) 10:28, 21. Jan. 2025 (CET)

Ja danke, jetzt ist es für mich verständlich. Ich habe den Baustein entfernt. --FerdiBf (Diskussion) 10:45, 21. Jan. 2025 (CET)