Kelley-Räume oder auch k-Räume oder kompakt erzeugte Räume werden in der mathematischen Disziplin der Topologie untersucht. Es handelt sich dabei um eine Klasse von Räumen, deren Topologie in enger Beziehung zu ihren kompakten Teilmengen steht und die aus diesem Grunde eine wichtige Rolle in der algebraischen Topologie spielen.

Definition

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Ein topologischer Raum   heißt Kelley-Raum, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  •   ist ein Hausdorff-Raum
  • Eine Teilmenge   ist genau dann abgeschlossen, wenn die Durchschnitte   für alle kompakten Teilmengen   abgeschlossen sind.

Die Begriffe k-Raum oder kompakt erzeugter Raum sind in der Literatur häufiger anzutreffen, das unten genannte Lehrbuch von J. Cigler und H. C. Reichel verwendet den Begriff Kelley-Raum.

Beispiele

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Kelleyfizierung

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Ist   ein Hausdorff-Raum und definiert man ein System   von Teilmengen durch   ist abgeschlossen für alle kompakten Teilmengen  , so ist   eine feinere Topologie auf   (das heißt  ), die   zu einem Kelley-Raum macht. Der topologische Raum   heißt die Kelleyfizierung von   und wird mit   bezeichnet.

  ist genau dann ein Kelley-Raum, wenn   gilt. Man kann zeigen, dass   die feinste Topologie auf  , die auf allen kompakten Teilmengen die Ausgangstopologie erzeugt.

Ist   eine stetige Abbildung zwischen Hausdorffräumen, so ist sie auch stetig als Abbildung  . Wir haben damit einen Funktor   von der Kategorie der Hausdorffräume in die Kategorie der Kelley-Räume, mit jeweils den stetigen Abbildungen als Morphismen. Ist   die Einbettung, so ist   links-adjungiert zu  .

Eigenschaften

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  • Ein Hausdorff-Raum und seine Kelleyfizierung haben dieselben kompakten Mengen.
  • Ist   ein Kelley-Raum, so gilt für jeden anderen topologischen Raum   und jede Abbildung  :   ist stetig   ist stetig für alle kompakten Teilmengen  . (Umgekehrt ist ein Hausdorff-Raum mit dieser Eigenschaft ein Kelley-Raum; betrachte dazu  .)
  • Abgeschlossene Unterräume von Kelley-Räumen sind wieder Kelley-Räume, die Kelley-Eigenschaft vererbt sich nicht auf beliebige Unterräume. Der Arens-Fort-Raum ist kein Kelley-Raum, aber Unterraum eines kompakten und damit eines Kelley-Raums.
  • Die Kategorie der Kelley-Räume ist eine volle Unterkategorie der Kategorie der Hausdorffräume.
  • Ist von den Kelley-Räumen   und   einer lokalkompakt, so ist der Produktraum   ein Kelley-Raum. Das Produkt von beliebigen Kelley-Räumen ist im Allgemeinen kein Kelley-Raum. Setzt man allerdings  , so ist   ein Produkt in der Kategorie der Kelley-Räume.
  • Hausdorffsche Quotienten von Kelley-Räumen sind wieder Kelley-Räume.
  • Einer der Gründe, warum Kelley-Räume in der algebraischen Topologie verwendet werden, ist folgende Aussage: Sind   und   Kelley-Räume und bezeichnet   den Raum der stetigen Funktionen   mit der kompakt-offenen Topologie, so ist folgende Auswertungsabbildung stetig:
 

Charakterisierung

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Folgende Charakterisierung der Kelley-Räume geht auf D. E. Cohen zurück und zeigt, dass man die Kelley-Räume als Verallgemeinerung der lokalkompakten Räume betrachten kann:

  • Ein Hausdorffraum ist genau dann ein Kelley-Raum, wenn er Quotient eines lokalkompakten Raums ist.

Literatur

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