Die Kiepert-Hyperbel eines Dreieck, benannt nach Ludwig Kiepert, ist eine spezielle Hyperbel, die durch die drei Eckpunkte des Dreiecks und eine Reihe seiner ausgezeichneten Punkte verläuft.

Kiepert-Hyperbel mit ausgezeichneten Punkten (Dreieckszentren)

Definition

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Ausgangsdreieck  , Kiepert-Dreieck:  , Perspektivitätszentrum  , gleich große Basiswinkel (grün), Kiepert-Hyperbel (rot)

An den Seiten eines Dreiecks   werden drei ähnliche gleichschenklige Dreiecke  ,   und   angefügt, und zwar jeweils mit einer Seite des gegebenen Dreiecks als Basis. Dann bilden die Spitzen der drei gleichschenkligen Dreiecke ein neues Dreieck   , das als Kiepert-Dreieck bezeichnet wird. Das Kiepert-Dreieck   und das Ausgangsdreieck   sind aufgrund des Satzes von Kiepert perspektivisch, das heißt, die Geraden  ,   und   schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt  , dem Perspektivitätszentrum.

Die Kiepert-Hyperbel des Dreiecks   ist nun definiert als der geometrische Ort aller dieser Perspektivitätszentren, die man erhält, wenn man die Basiswinkel der ähnlichen Dreiecke alle Winkel zwischen   und   durchlaufen lässt.

Bezeichnungen und Koordinaten

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Der Basiswinkel   der angefügten gleichschenkligen Dreiecke wird positiv genommen, wenn diese nach außen gerichtet sind, andernfalls negativ. Das zugehörige Kiepert-Dreieck wird mit   bezeichnet, das Perspektivitätszentrum mit  .

Baryzentrische Koordinaten von   (unter Verwendung der Conway-Dreiecksnotation):

 

Die Formel für die Kiepert-Hyperbel in baryzentrischen Koordinaten ist

 

Der Mittelpunkt der Kiepert-Hyperbel hat die baryzentrischen Koordinaten

 

die Kimberling-Nummer X(115) und liegt auf dem Feuerbach-Kreis (Neun-Punkte-Kreis).

Eigenschaften

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Kiepert-Hyperbel

Bei der Kiepert-Hyperbel handelt sich um eine gleichseitige Hyperbel, die unter anderem durch folgende Punkte geht:

Die Kiepert-Hyperbel ist isogonal konjugiert zur Brocard-Achse.

Literatur

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Commons: Kiepert's hyperbola – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien