Kiepert-Hyperbel

Die Kiepert-Hyperbel eines Dreieck, benannt nach Ludwig Kiepert, ist eine spezielle Hyperbel, die durch die drei Eckpunkte des Dreiecks und eine Reihe seiner ausgezeichneten Punkte verläuft.

Kiepert-Hyperbel mit ausgezeichneten Punkten (Dreieckszentren)

Definition

Ausgangsdreieck $\triangle ABC$, Kiepert-Dreieck: $\triangle DEF$, Perspektivitätszentrum $P$, gleich große Basiswinkel (grün), Kiepert-Hyperbel (rot)

An den Seiten eines Dreiecks $\triangle ABC$ werden drei ähnliche gleichschenklige Dreiecke $\triangle ABF$, $\triangle BCE$ und $\triangle ACD$ angefügt, und zwar jeweils mit einer Seite des gegebenen Dreiecks als Basis. Dann bilden die Spitzen der drei gleichschenkligen Dreiecke ein neues Dreieck $\triangle DEF$, das als Kiepert-Dreieck bezeichnet wird. Das Kiepert-Dreieck $\triangle DEF$ und das Ausgangsdreieck $\triangle ABC$ sind aufgrund des Satzes von Kiepert perspektivisch, das heißt, die Geraden $FC$, $AE$ und $BD$ schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt $P$, dem Perspektivitätszentrum.

Die Kiepert-Hyperbel des Dreiecks $\triangle ABC$ ist nun definiert als der geometrische Ort aller dieser Perspektivitätszentren, die man erhält, wenn man die Basiswinkel der ähnlichen Dreiecke alle Winkel zwischen $-90^{\circ }$ und $90^{\circ }$ durchlaufen lässt.

Bezeichnungen und Koordinaten

Der Basiswinkel $\phi$ der angefügten gleichschenkligen Dreiecke wird positiv genommen, wenn diese nach außen gerichtet sind, andernfalls negativ. Das zugehörige Kiepert-Dreieck wird mit ${\mathcal {K}}_{\phi }$ bezeichnet, das Perspektivitätszentrum mit $K_{\phi }$.

Baryzentrische Koordinaten von $K_{\phi }$ (unter Verwendung der Conway-Dreiecksnotation):

$\left({\frac {1}{S_{A}+S_{\phi }}}:{\frac {1}{S_{B}+S_{\phi }}}:{\frac {1}{S_{C}+S_{\phi }}}\right)$

Die Formel für die Kiepert-Hyperbel in baryzentrischen Koordinaten ist

$(b^{2}-c^{2})yz+(c^{2}-a^{2})xz+(a^{2}-b^{2})xy=0.\,$

Der Mittelpunkt der Kiepert-Hyperbel hat die baryzentrischen Koordinaten

$(b^{2}-c^{2})^{2}:(c^{2}-a^{2})^{2}:(a^{2}-b^{2})^{2},\,$

die Kimberling-Nummer X(115) und liegt auf dem Feuerbach-Kreis (Neun-Punkte-Kreis).

Eigenschaften

Kiepert-Hyperbel

Bei der Kiepert-Hyperbel handelt sich um eine gleichseitige Hyperbel, die unter anderem durch folgende Punkte geht:

• die Ecken des gegebenen Dreiecks,
• den Höhenschnittpunkt,
• den Schwerpunkt,
• den Spieker-Punkt,
• die beiden Napoleon-Punkte,
• die beiden Fermat-Punkte,
• den Tarry-Punkt,
• den dritten Brocard-Punkt,
• die beiden Vecten-Punkte.

Die Kiepert-Hyperbel ist isogonal konjugiert zur Brocard-Achse.

Literatur

• R. H. Eddy, R. Fritsch: The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle. Mathematics Magazine, Band 67, Nr. 3 (Juni, 1994), S. 188–205
• Cristoph Pöppe: Napoleons Punkt und Kieperts Hyperbel. In: Spektrum der Wissenschaft, August 2017

Weblinks

Commons: Kiepert's hyperbola – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Kiepert Hyperbola. In: MathWorld (englisch).
• Kiepert-Hyberbel – Animation mit GeoGebra