In der algebraischen Zahlentheorie versteht man unter einem Klassenkörper über einem vorgegebenen algebraischen Zahlkörper eine Galoissche Erweiterung , deren Automorphismengruppe zu einer verallgemeinerten Idealklassengruppe des Grundkörpers isomorph ist. Der Isomorphismus motiviert die Bezeichnung von als Klassenkörper. Da jede verallgemeinerte Idealklassengruppe eine abelsche (kommutative) Gruppe ist, sind alle Klassenkörper von abelsche Erweiterungen. Diese Verallgemeinerungen der gewöhnlichen Klassengruppe , also des Quotienten der Gruppe der gebrochenen Ideale von nach der Untergruppe der Hauptideale, müssen im nachfolgenden Abschnitt genau beschrieben werden, um die Klassenkörper über präzise definieren zu können.

Verallgemeinerte Idealklassengruppen

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Eine verallgemeinerte Idealklassengruppe   eines algebraischen Zahlkörpers   mit Ganzheitsring   wird folgendermaßen definiert.

Es sei   ein ganzes Ideal von  , also   mit  , Primidealen   von   und positiven ganzen Exponenten  . (  können als Werte   von nicht-archimedischen Stellen von   aufgefasst werden.) Besitzt   die Signatur  , mit   reellen Einbettungen und   Paaren von konjugiert-komplexen Einbettungen, und daher den Grad  , dann seien   mit   reelle archimedische Stellen von  . Diese Stellen werden zusammengefasst in einem formalen Kongruenzmodul, der auch Erklärungsmodul oder Divisor genannt wird,   mit dem quadratfreien formalen Produkt  , also

 .

Die Gruppe der zu   teilerfremden gebrochenen Ideale von   wird mit   bezeichnet. Sie enthält eine Untergruppe   von Hauptidealen, den sogenannten Strahl modulo   von  , dessen Elemente   den folgenden Bedingungen genügen.

  •  , für alle  , und
  •  , für alle  .

Diese Bedingungen werden als formale multiplikative Kongruenz   notiert.

Der Quotient

 

heißt Strahlklassengruppe modulo   von   und für jede Zwischengruppe   ist der Quotient

 

eine verallgemeinerte Idealklassengruppe von   im Sinne von H. Weber.[1]

Für den Beweis des Isomorphie-Satzes   benötigt man noch die mittels der Frobenius-Automorphismen definierte Artin-Abbildung.

Frobenius-Automorphismus und Artin-Abbildung

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Zunächst sei   eine beliebige endliche Galois-Erweiterung algebraischer Zahlkörper mit Ganzheitsringen   und  . Ist dann   ein Primideal von  , welches über einem Primideal   von   liegt, also  , dann wird die zyklische Galoisgruppe   der zugehörigen Erweiterung von endlichen Restklassenkörpern   durch den lokalen Frobenius-Automorphismus von   mit der Abbildungsvorschrift   erzeugt, also  . Die Inklusion der Trägheitsuntergruppe (inertia subgroup) in die Zerlegungsuntergruppe (decomposition subgroup) von   bewirkt eine exakte Sequenz   und wenn jetzt   unverzweigt bleibt, dann wird   und die Sequenz entartet zu einem Isomorphismus  , der sich als globaler Frobenius-Automorphismus   mit der Kongruenzbedingung   fortsetzt. Die Frobenius-Automorphismen der zu   konjugierten Primideale   mit   sind gegeben durch  . Wenn schließlich   eine abelsche Erweiterung ist, dann sind alle konjugierten Frobenius-Automorphismen identisch und werden mit   bezeichnet.

Für eine abelsche Erweiterung   mit Relativdiskriminante  , außerhalb derer ja alle Primideale unverzweigt sind, braucht daher die zugehörige Artin-Abbildung   aufgrund multiplikativer Fortsetzung nur auf den Primidealen erklärt zu werden durch  , in Termen der globalen Frobenius-Automorphismen. Sie ist ein Epimorphismus mit Kern  , also  .

Hauptsätze der Klassenkörpertheorie

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Die Hauptsätze in der klassischen ideal-theoretischen Sprechweise wurden 1920 von T. Takagi publiziert und können folgendermaßen formuliert werden.[2] [3]

Existenz und Eindeutigkeit

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Zu einem formalen Kongruenzmodul   von   und einer vorgegebenen Zwischengruppe   gibt es genau eine abelsche Erweiterung  , in der höchstens Primideale   verzweigt sind und höchstens reelle archimedische Stellen   komplex werden, die also außerhalb von   unverzweigt ist, sodass

  • die Idealnormengruppe   der Erweiterung   mit   übereinstimmt und
  • die Galoisgruppe   zur verallgemeinerten Idealklassengruppe   isomorph ist.

Führer-Satz

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Zu einer endlichen abelschen Erweiterung   gibt es (genau) einen minimalen Divisor   von  , den sogenannten (Relativ-)Führer von  , sodass die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind.

  • Ein Primideal   von   ist genau dann verzweigt in  , wenn  .
  • Eine reelle archimedische Stelle   von   wird genau dann komplex in  , wenn  .
  • Für jedes Vielfache   des Führers  , also für jeden Divisor   von   mit  , gibt es eine Zwischengruppe  , sodass  .

Zerlegungs-Satz

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Es sei   eine endliche abelsche Erweiterung mit zugehöriger Idealgruppe  , wobei  , und   sei ein Primideal des Grundkörpers  . Ist dann   die kleinste   enthaltende Idealgruppe von  , deren Führer zu   teilerfremd ist, besitzt sie den Index  , und ist   die kleinste Potenz von  , die in   enthalten ist, dann zerfällt   in   in  -te Potenzen verschiedener Primideale   vom Relativgrad  .

Anordnungs-Satz

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Sind   und   abelsche Erweiterungen mit Führern   und   und ist   ein gemeinsames Vielfaches von   und   (zum Beispiel, aber nicht zwingend, das kleinste gemeinsame Vielfache) mit entsprechenden Zwischengruppen  , dann gilt das Antitonie-Prinzip:

  genau dann, wenn  .

Die logische Struktur dieser Sätze ist für Unterrichtszwecke von H. Hasse und A. Scholz in besonders vorbildlicher didaktischer und propädeutischer Weise noch weiter aufgegliedert worden.[4]

Strahlklassenkörper

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Die maximale außerhalb von   unverzweigte abelsche Erweiterung   von   entspricht nach dem Anordnungssatz der minimalen Zwischengruppe  , also dem Strahl modulo   von  , und heißt der Strahlklassenkörper modulo   von   mit Galoisgruppe   isomorph zur Strahlklassengruppe modulo   von  . Jede andere außerhalb von einem Teiler   unverzweigte abelsche Erweiterung   von   ist notwendigerweise in   enthalten und heißt der zur Idealnormengruppe   gehörige Klassenkörper von  . Es sei ausdrücklich hervorgehoben, dass somit der Strahlklassenkörper   ein ganzes (im Allgemeinen nur partiell aber nicht total geordnetes) Netzwerk von kleineren Strahlklassenkörpern   umfasst, entsprechend dem kompletten Teilerverband   des Kongruenzmoduls  .

Unverzweigte Erweiterungen

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Im Sonderfall des Eins-Ideals   als Kongruenzmodul entartet der Strahl modulo   zur Hauptidealgruppe   und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz liefert das folgende spezielle Ergebnis. Es existiert genau eine maximale überall unverzweigte abelsche Erweiterung  , deren Galoisgruppe   isomorph zur gewöhnlichen Idealklassengruppe von   ist. Sie heißt Hilbertscher Klassenkörper von   und für sie gilt der spezielle Zerlegungssatz: Ein Primideal   von   ist in   genau dann voll zerlegt, wenn es ein Hauptideal ist. Bei voller Zerlegung ist nämlich die Gruppe   trivial, also auch der Frobenius-Automorphismus   und   liegt im Kern der Artin-Abbildung.

Nimmt man weiterhin den trivialen Erklärungsmodul  , vergrößert aber die Zwischengruppe   derart, dass   für eine vorgegebene Primzahl   genau der Nicht- -Anteil von   ist, dann folgt die Existenz genau einer maximalen überall unverzweigten abelschen  -Erweiterung  , deren Galoisgruppe   isomorph zur Sylow  -Untergruppe der Idealklassengruppe von   ist. Sie heißt Hilbertscher  -Klassenkörper von  . Nach dem Anordnungssatz ist  . Durch die iterierte Konstruktion der Folge von höheren  -Klassenkörpern entsteht der  -Klassenkörperturm. Im Gegensatz zu den in diesem Artikel behandelten durchwegs abelschen Klassenkörpern über dem Grundkörper, ist der Turm jedoch ein nicht-abelsches Phänomen.

Schließlich sei noch die Situation betrachtet, dass zwar sämtliche Primideale   von  , also anders ausgedrückt die nicht-archimedischen Stellen von  , in der abelschen Erweiterung   unverzweigt bleiben müssen, dass jedoch die reellen archimedischen Stellen   in Paare von konjugiert-komplexen archimedischen Stellen zerfallen oder, wie man auch sagt, verzweigen dürfen. Unter Zugrundelegung des formalen Divisors   bleibt zwar   wie oben, aber die Untergruppe der Hauptideale   sowie deren Nebenklassen werden durch die Positivitäts-Bedingungen in der formalen multiplikativen Kongruenz im Allgemeinen eingeengt, und es gibt eine eindeutig bestimmte maximale an allen nicht-archimedischen Stellen von   unverzweigte abelsche Erweiterung  , sodass die Galoisgruppe   isomorph zur Gruppe der engeren Idealklassen von   ist. Diese wird in der Literatur auch (etwas irreführend) als engere Klassengruppe bezeichnet, aber die engere Klassenzahl   kann bis zu   mal größer als die gewöhnliche Klassenzahl   sein.   heißt der engere Hilbertsche Klassenkörper von  . Nach dem Anordnungssatz ist  .

Ringklassenkörper

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Nimmt man für eine positive ganze Zahl   das Hauptideal   als Kongruenzmodul   und den sogenannten Ring modulo   von  ,  , als Zwischengruppe   zwischen dem Strahl modulo   und der zu   teilerfremden Idealgruppe von  , dann erhält man als zugehörigen Klassenkörper   den Ringklassenkörper modulo   von   mit Galoisgruppe   isomorph zur Ringklassengruppe modulo   von  . Diese Begriffsbildung erweist sich besonders für (imaginäre und reelle) quadratische Grundkörper   als hilfreich, weil für eine ungerade Primzahl   der  -Ringklassenkörper   modulo   von   nur Normalkörper   mit Diedergruppe der Ordnung   als absoluter Galoisgruppe   enthält aber keine Komposita von   mit zyklischen Zahlkörpern vom Grad   und keine nicht-Galoisschen Zwischenkörper. Der  -Ringklassenkörper ist im  -Strahlklassenkörper modulo   enthalten,  , aber nur letzterer umfasst die genannten Komposita und nicht-Galoisschen Zwischenkörper.

Idele-theoretische Neuformulierung

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Die Notwendigkeit, für den Vergleich zweier verschiedener abelscher Erweiterungen   und   mit Führern   und   ein gemeinsames Vielfaches   von   und   als Erklärungsmodul finden zu müssen, wird in der modernen Mathematik als veraltet betrachtet, vor allem von französischen Mathematikern. Sie kann nämlich mit Hilfe der durch den französischen Mathematiker C. Chevalley eingeführten eleganteren Begriffe der Idelgruppe   und Idelklassengruppe   anstelle der Idealgruppe   und Idealklassengruppe   eines Zahlkörpers   vermieden werden. Außerdem erlauben diese allgemeineren Begriffe auch die zwanglose Behandlung unendlicher Erweiterungen  , allerdings unter Berücksichtigung der zusätzlichen topologischen Struktur. Die Hauptsätze der Klassenkörpertheorie in der modernen idele-theoretischen Sprechweise lauten dann folgendermaßen.

Existenz und Eindeutigkeit

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Zu jeder offenen (und zugleich abgeschlossenen) Zwischengruppe   mit endlichem Index   zwischen der Hauptidelgruppe   und der Idelgruppe   existiert genau eine abelsche Erweiterung  , sodass die Idelnormengruppe   der Erweiterung   mit   übereinstimmt.

Oder äquivalent mit der Idelklassengruppe statt mit der Idelgruppe ausgedrückt:

Zu jeder offenen (und zugleich abgeschlossenen) Untergruppe   mit endlichem Index   gibt es genau eine abelsche Erweiterung  , sodass die Idelklassennormengruppe   der Erweiterung   mit   übereinstimmt.

Für die Miteinbeziehung unendlicher Erweiterungen benötigt man die Zusammenhangskomponente   der Hauptklasse   in der Idelklassengruppe  :

Zu jeder abgeschlossenen Zwischengruppe   (also mit total unzusammenhängendem Quotienten  ) existiert genau eine abelsche Erweiterung  , sodass  .

Umkehr-Satz

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Zu jeder endlichen abelschen Erweiterung   gibt es einen Isomorphismus der Galoisgruppe   zur Normklassengruppe   der Idelgruppe   beziehungsweise der Idelklassengruppe   der Erweiterung  . Eine nicht-archimedische Stelle, also ein Primideal,   des Grundkörpers   ist genau dann unverzweigt in der Erweiterung  , wenn die lokalen  -adischen Einheiten   in der Idelnormengruppe von   enthalten sind. Eine reelle archimedische Stelle   des Grundkörpers   bleibt genau dann reell in der Erweiterung  , wenn die lokalen  -Einheiten   in der Idelnormengruppe enthalten sind.

Unter Miteinbeziehung unendlicher Erweiterungen kann man den Satz neu formulieren:

Zu jeder beliebigen abelschen Erweiterung   gibt es eine abgeschlossene Zwischengruppe  , sodass  . Eine nicht-archimedische oder reelle archimedische Stelle   des Grundkörpers   bleibt genau dann unverzweigt in der Erweiterung  , wenn  .

Anordnungs-Satz

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Sind   und   endliche abelsche Erweiterungen, dann gilt das Antitonie-Prinzip:

  genau dann, wenn  .

Hilbertscher Klassenkörper

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Gemäß Umkehrsatz ist eine abelsche Erweiterung   überall unverzweigt, wenn das Produkt aller lokalen Einheiten   in der Idelnormengruppe   von   enthalten ist. Insbesondere muss für die maximale überall unverzweigte abelsche Erweiterung   laut Anordnungssatz die zugehörige Zwischengruppe von Idelen minimal sein, also  , woraus sich eine ganz fundamentale Isomorphie der Galoisgruppe von  ,

 ,

zur (gewöhnlichen) Idealklassengruppe des Grundkörpers   ergibt, weil die kanonische Projektion   den Kern   besitzt und   in   abbildet. Diese maximale überall unverzweigte abelsche Erweiterung von   wird der Hilbertsche Klassenkörper von k genannt.

Satz von Kronecker, Weber und Hilbert

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L. Kronecker hat 1853 festgestellt, dass jeder absolut abelsche Zahlkörper  , also mit kommutativer Galoisgruppe   über dem rationalen Zahlkörper, in einem Kreisteilungskörper (zyklotomischen Körper) enthalten ist, aber sein Beweis war unvollständig. H. Weber schlug 1886 einen neuen Beweis vor, der aber ebenfalls noch eine Lücke hatte. Erst D. Hilbert gelang 1896 der vollständige Beweis dieses Kronecker-Weber-Theorems.

Im Rahmen der Theorie der Kreiskörper, aufgefasst als Strahlklassenkörper über   kann der Satz relativ leicht bewiesen werden. Es sei also   eine positive ganze Zahl und   eine primitive  -te Einheitswurzel (etwa  ), also   der  -te Kreisteilungskörper. Dann ist die Artin-Abbildung  ,  , mit  , für Primzahlen  , ein Epimorphismus mit Kern  , wobei der Kongruenzmodul   die einzige reelle archimedische Stelle   von   enthält, weil diese ja für   im total-komplexen zyklotomischen Körper   in Paare von konjugiert-komplexen archimedischen Stellen zerfallen oder, wie man auch sagt, verzweigen muss. Also induziert   einen Isomorphismus   zur primen Restklassengruppe modulo  . Ohne die Stelle   landet man notgedrungen bei einer total-reellen Erweiterung, nämlich beim maximalen reellen Teilkörper   des  -ten Kreisteilungskörpers   und  .

Das Kronecker-Weber-Theorem in Termen der Klassenkörpertheorie lautet also folgendermaßen: Zu jedem absolut abelschen Zahlkörper   gibt es eine positive ganze Zahl   und eine Idealgruppe  , nämlich die Idealnormengruppe  , sodass  , und nach dem Anordnungssatz muss   sein.

Einzelnachweise

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  1. Weber, H.: Über Zahlengruppen in algebraischen Körpern. In: Math. Ann. 48, 49, 50. Jahrgang, 1896, S. 433, 83, 1.
  2. Takagi, T.: Über eine Theorie des relativ Abel'schen Zahlkörpers. In: Journ. Coll. Science, Tokyo Imp. Univ. 41. Jahrgang, Nr. 9, 1920, S. 1–133.
  3. Takagi, T.: Über das Reziprozitätsgesetz in einem beliebigen algebraischen Zahlkörpers. In: Journ. Coll. Science, Tokyo Imp. Univ. 44. Jahrgang, Nr. 5, 1920, S. 1–50.
  4. Hasse, H., Scholz, A.: Zur Klassenkörpertheorie auf Takagischer Grundlage. In: Math. Zeitschr. 29. Jahrgang, 1929, S. 60–69.