Klassenzahlformel

mathematischer Satz

Im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Zahlentheorie gibt die Klassenzahlformel eine Formel für die Berechnung der Klassenzahl eines Zahlkörpers. Sie wurde für quadratische Zahlkörper 1839 von Peter Gustav Lejeune Dirichlet bewiesen.

Grundlagen

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Ein Zahlkörper   ist eine endliche Körpererweiterung   des Körpers der rationalen Zahlen. Der Ganzheitsring   sind diejenigen Elemente aus  , die sich als Lösung einer normierten polynomiellen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten gewinnen lassen. Die Idealklassengruppe misst, wie weit der Ganzheitsring davon entfernt ist, eine eindeutige Primfaktorzerlegung zu besitzen. Sie ist definiert als Gruppe der gebrochenen Ideale modulo der gebrochenen Hauptideale. Die Klassenzahl   des Zahlkörpers ist definiert als die Anzahl der Elemente der Idealklassengruppe. Insbesondere ist die Klassenzahl   genau dann, wenn   ein Hauptidealring ist und dies ist wiederum genau dann der Fall, wenn Primfaktorzerlegung in   eindeutig ist. Ein zentrales Problem der algebraischen Zahlentheorie ist die Frage, welche Zahlkörper Klassenzahl   haben.

 

Hierbei sind

Beispiele

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Die rationalen Zahlen

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Der Zahlkörper der rationalen Zahlen   hat eine reelle und keine komplexe Einbettung, also  . Die einzigen Einheitswurzeln sind   also  . Der Dirichletsche Regulator ist die Determinante einer  -Matrix, also  , und die Diskriminante der trivialen Erweiterung   ist  . Die Dedekindsche Zeta-Funktion   ist in diesem Fall die Riemannsche Zeta-Funktion  . Man erhält

 

in Übereinstimmung mit der bekannten Tatsache, dass   ein Hauptidealring ist.

Imaginärquadratische Zahlkörper

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Für   ist   und das Residuum der Dedekindschen Zetafunktion in   ist  . Man erhält  .

Für   ist   und eine geschickte Berechnung des Residuums der Dedekindschen Zetafunktion zeigt  .

Verallgemeinerung

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Eine Verallgemeinerung der Klassenzahlformel ist die Lichtenbaum-Vermutung (benannt nach Stephen Lichtenbaum).

Literatur

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  • Analytic number theory. A tribute to Gauss and Dirichlet. Proceedings of the conference held in Göttingen, June 20–24, 2005. Edited by William Duke and Yuri Tschinkel. Clay Mathematics Proceedings, 7. American Mathematical Society, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2007. viii+256 pp. ISBN 978-0-8218-4307-9
  • Winfried Scharlau, Hans Opolka From Fermat to Minkowski. Lectures on the theory of numbers and its historic development, Springer Verlag, 1985 (Kapitel 8: Dirichlet)
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