Regulator (Zahlentheorie)

Begriff aus der Mathematik

Der Regulator bezeichnet in der Zahlentheorie eine Größe, die Auskunft über die Einheiten eines algebraischen Zahlkörpers gibt. Jedem Zahlkörper ist ein solcher Regulator zugeordnet.

Definition

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Sei   ein algebraischer Zahlkörper mit Erweiterungsgrad  . Sei   die Anzahl der reellen Einbettungen von   und   die Anzahl der komplexen Einbettungen, es gilt also  . Dann ist der freie Teil der Einheitengruppe des ganzen Abschlusses   von   in   nach dem dirichletschen Einheitensatz isomorph zu  . Bildet man die Einheitengruppe   über

 

in den   ab, wobei   die reellen Einbettungen und   die komplexen Einbettungen sind, so ist das Bild ein  -dimensionales Gitter des Volumens  . Der Regulator   ist nun definiert als

 

Er stellt eine wichtige Größe des Zahlkörpers dar und taucht zum Beispiel in der Klassenzahlformel wieder auf.

Verallgemeinerungen

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Verallgemeinerungen dieses Begriffs sind unter anderem der Borel-Regulator und der Beilinson-Regulator. Zur Abgrenzung von diesen wird der in diesem Artikel beschriebene Spezialfall auch als Dirichletscher Regulator bezeichnet.

Literatur

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  • S. I. Borevich, I. R. Shafarevich: Zahlentheorie. Birkhäuser Verlag, 1966.