Kleisli-Kategorie

Eine Kleisli-Kategorie ist eine Kategorie, die sich auf natürliche Weise aus einer Monade ergibt. Sie ist benannt nach dem Schweizer Mathematiker Heinrich Kleisli.

Definition

Sei $C$ eine Kategorie und $M=(T,\mu ,\eta )$ eine Monade, mit $T\colon C\to C$ als Endofunktor und $\mu \colon T^{2}\to T$, $\eta \colon 1\to T$ als die auf ihm festgelegten Monoid-Operationen. Die zu $C$ und $M$ gehörende Kleisli-Kategorie wird im Folgenden als $C_{M}$ bezeichnet. Die Objekte und Morphismen in ihr sind

• $\operatorname {Ob} (C_{M})=\operatorname {Ob} (C)$, sowie
• $\operatorname {Mor} _{C_{M}}(X,Y)=\operatorname {Mor} _{C}(X,T(Y))$.

Identitätsmorphismen und Verkettung sind

• $\operatorname {id} _{A}=\eta _{A}$ und
• $f\circ _{C_{M}}g=\mu \circ _{C}T(f)\circ _{C}g$.

Beispiele

• Korrespondenzen bilden eine Kleisli-Kategorie. Der Endofunktor auf Set ist hier Potenzmengenbildung, ${\mathcal {P}}$, mit ${\mathcal {P}}(f)(A)=\{f(a)|a\in A\}$.

Literatur

• Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. 5). 2nd edition. Springer, New York u. a. 1998, ISBN 0-387-98403-8.