Korrespondenz (Mathematik)

Präzisierung des in der älteren mathematischen Literatur häufiger anzutreffenden Begriffs der mehrwertigen Funktion oder Multifunktion

In der Mathematik ist der Begriff der Korrespondenz eine Präzisierung des in der älteren mathematischen Literatur häufiger anzutreffenden Begriffs der mehrwertigen Funktion oder Multifunktion. Während eine Funktion im üblichen Sinn jedem Element der Definitionsmenge ein einziges Element der Zielmenge als Funktionswert zuordnet, können bei einer mehrwertigen Funktion einem Element der Definitionsmenge mehrere Elemente der Zielmenge zugeordnet werden. Beim Begriff der Korrespondenz werden diese mehreren Funktionswerte zu einer Menge (also einer Teilmenge der Zielmenge) zusammengefasst. Eine Korrespondenz von einer Menge in eine Menge ist somit eine Funktion, die jedem Element von eine Teilmenge von zuordnet.

Definition

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Eine Korrespondenz von einer Menge   in eine Menge   ist eine Abbildung   von   in die Potenzmenge von  .

Notation

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Eine Korrespondenz von   nach   wird geschrieben als:

  bzw.  

Korrespondenzen als Relation

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Eine Korrespondenz   von   nach   kann mit der Relation   identifiziert werden, denn aus der Relation   erhält man durch die Definition   wieder die Korrespondenz zurück. Näheres siehe:

Demnach sind Relation und Korrespondenz äquivalente Begriffe, bei der Korrespondenz steht aber die Interpretation als Abbildung einer Menge in die Potenzmenge einer zweiten im Vordergrund.

Im Fall   stellt die Relation   eine Transitionsrelation dar, und   ist die zugehörige Transitionsfunktion.

Eigenschaften von Korrespondenzen

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Sind   und   topologische Räume, so lassen sich interessante Eigenschaften von Korrespondenzen   zwischen   und   definieren.

Man nennt   abgeschlossen (offen), wenn die zugehörige Relation im Produktraum abgeschlossen (offen) ist.

Ein Fixpunkt einer Korrespondenz   von   nach   ist ein Punkt   mit  .

Der folgende, nicht-konstruktive Existenzsatz von Shizuo Kakutani sichert die Existenz von Fixpunkten.

Fixpunktsatz von Kakutani

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Formulierung des Satzes für ℝn

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Sei   nicht leer, konvex und kompakt, und sei   eine abgeschlossene Korrespondenz von   nach   derart, dass   für jedes   konvex und nicht leer ist. Dann besitzt   einen Fixpunkt.

Anwendungen

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Dieser Fixpunktsatz verallgemeinert den brouwerschen Fixpunktsatz, denn eine Abbildung   kann man als Korrespondenz   mit   auffassen, und ein Fixpunkt von   ist ein Fixpunkt von  .

In der mathematischen Wirtschaftstheorie führt dieser Satz zu interessanten Existenzsätzen über Gleichgewichtspreise. In der mathematischen Spieltheorie hat John Nash diesen Satz verwendet, um die Existenz von Gleichgewichtspunkten in gewissen kooperativen Zweipersonenspielen zu zeigen (siehe Nash-Gleichgewicht).

Korrespondenzen in der algebraischen Geometrie

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In der algebraischen Geometrie bezeichnet man als Korrespondenz zwischen Varietäten   und   eine Untervarietät des Produkts  .

Für einen Körper   definiert man die Kategorie der Korrespondenzen   als die Kategorie, deren Objekte die glatten, projektiven Varietäten über   sind und deren Morphismen mittels der Chow-Gruppen gegeben sind durch

 

wobei   die Zerlegung der Varietäten in irreduzible Komponenten bezeichnet. Die Komposition zweier Morphismen   ist definiert durch

 

wobei   die Projektion von   auf das Produkt des  -ten und  -ten Faktors bezeichnet. Die Identität   ist die Diagonale  .

Literatur

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  • Heinz König, Michael Neumann: Mathematische Wirtschaftstheorie. Verlag Anton Hain Meisenheim GmbH (1986)
  • Burkhard Rauhut, Norbert Schmitz, Ernst-Wilhelm Zachow: Eine Einführung in die mathematische Theorie strategischer Spiele. Teubner Studienbücher (1979)
  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 5-te Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 609
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