Fixpunktsatz von Kakutani

Der Fixpunktsatz von Kakutani ist ein mathematischer Lehrsatz, der dem Gebiet der Funktionalanalysis angehört und auf eine Arbeit des japanischen Mathematikers Shizuo Kakutani aus dem Jahr 1938 zurückgeht. Der Satz beruht auf Eigenschaften konvexer Mengen in hausdorffschen lokalkonvexen Vektorräumen und gibt eine hinreichende Bedingung für das Vorliegen gemeinsamer Fixpunkte für gewisse Gruppen von Homöomorphismen solcher Mengen. Er gab Anlass zu zahlreichen Folgeuntersuchungen und ist eng verknüpft mit anderen bedeutenden Sätzen der Funktionalanalysis wie etwa mit dem Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski. Der Fixpunktsatz von Kakutani impliziert dabei nicht zuletzt die Existenz Haarscher Maße auf kompakten Gruppen. Zu seinem Beweis wird der hausdorffsche Maximalkettensatz oder das Lemma von Zorn (und damit das Auswahlaxiom) benötigt.

Formulierung des Satzes

Der Fixpunktsatz von Kakutani lässt sich darstellen wie folgt:

Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum $X$ und darin eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge $C\subset X$ zusammen mit einer Gruppe ${\mathcal {G}}$ von linearen Automorphismen $g\colon X\to X$, die $C$ invariant lassen, in der also alle Automorphismen $g\in {\mathcal {G}}$ die Teilmengenrelation $g(C)\subseteq C$ erfüllen.

Die Gruppe ${\mathcal {G}}$ sei dabei gleichmäßig gleichgradig stetig.

Dann gilt:

${\mathcal {G}}$ hat auf $C$ einen gemeinsamen Fixpunkt, d h.: es gibt ein $c_{0}\in C$ mit $g(c_{0})=c_{0}$ für alle $g\in {\mathcal {G}}$ .

Verwandtes Resultat: Der Satz von Markow

Der russische Mathematiker Markow hat schon im Jahre 1936 und vor Publikation des kakutanischen Fixpunktsatzes einen Satz vorgelegt, der diesem in Fragestellung und Aussage sehr ähnelt, wobei der markowsche Satz im Wesentlichen darin abweicht, dass er die Voraussetzung der gleichmäßig-gleichgradigen Stetigkeit durch eine Vertauschbarkeitsbedingung ersetzt:

Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum $X$ und darin eine nichtleere kompakte konvexe Teilmenge $C\subset X$.

Weiter gegeben sei eine Familie ${\mathcal {F}}=(f_{i})_{i\in I}$ von stetigen affinen Abbildungen $f_{i}\colon C\to C$, die hinsichtlich der Hintereinanderausführung paarweise vertauschbar sein sollen.

Dann gilt:

${\mathcal {F}}$ hat auf $C$ einen gemeinsamen Fixpunkt, d h.: es gibt ein $c_{0}\in C$ mit $f_{i}(c_{0})=c_{0}$ für alle $i\in I$ .

Zusatz

Die Aussage des Satzes von Markow gilt insbesondere für den Fall, dass – bei sonst gleichen Voraussetzungen – ${\mathcal {F}}$ als abelsche Gruppe von stetigen linearen Automorphismen $f\colon X\to X$ mit $f(C)\subseteq C$ vorausgesetzt wird. Diesen abgewandelten Satz nennt man auch den Fixpunktsatz von Kakutani-Markow (englisch Kakutani-Markov fixed point theorem).

Erläuterungen

• Die gleichmäßig-gleichgradige Stetigkeit (englisch Equicontinuity) der obigen Abbildungsgruppe ${\mathcal {G}}$ ist auf die durch das $0$-Umgebungssystem von $X$ gegebene uniforme Struktur zu beziehen. In diesem Zusammenhang nennt man – in voller Allgemeinheit – eine Familie ${\mathcal {F}}=(f_{i})_{i\in I}$ von linearen Abbildungen $f_{i}\colon X\to Y$ zwischen zwei topologischen Vektorräumen $X$ und $Y$ gleichmäßig gleichgradig stetig genau dann, wenn folgendes gilt:

Zu jeder $0$-Umgebung $U_{Y}(0)\subseteq Y$ gibt es eine $0$-Umgebung $U_{X}(0)\subseteq X$ , welche der Bedingung $\bigcup _{i\in I}{f_{i}\left(U_{X}(0)\right)}\subseteq U_{Y}(0)$ genügt.

• Eine Abbildung $f\colon C\to C$ der konvexen Menge $C\subseteq X$ heißt affin, wenn für je zwei Punkte $x,y\in C$ und jede reelle Zahl $\lambda \in [0,1]$ stets die Gleichung $f\left(\lambda x+(1-\lambda )y\right)=\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$ erfüllt ist.

Quellen und Hintergrundliteratur

• Shizuo Kakutani: On the uniqueness of Haar's measure. In: Proceedings of the Imperial Academy. Band 14, 1938, S. 27–31 (MR1568492). 
• Shizuo Kakutani: Two fixed-point theorems concerning bicompact convex sets. In: Proceedings of the Imperial Academy. Band 14, 1938, S. 242–245 (MR1568507). 
• Vasile I. Istrățescu: Fixed Point Theory. An Introduction. With a Preface by Michiel Hazewinkel (= Mathematics and its Application. Band 7). D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Bosto, London 1981, ISBN 90-277-1224-7 (MR0620639). 
• A. A. Markov: Quelques théorèmes sur les ensembles abeliens. In: Doklady Akad. Nauk. SSSR. Band 10, 1936, S. 311–314. 
• Barbara Przebieracz: A proof of the Mazur-Orlicz theorem via the Markov-Kakutani common fixed point theorem, and vice versa. In: Fixed Point Theory and Applications. 2015, doi:10.1186/s13663-014-0257-2 (MR3304965). 
• Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, ISBN 0-07-054236-8 (MR1157815). 
• Dirk Werner: A proof of the Markov-Kakutani fixed point theorem via the Hahn-Banach theorem. In: xtracta Mathematicae. Band 8, 1993, S. 37–38 (MR1270326). 
• Robert J. Zimmer: Essential Results of Functional Analysis (= Chicago Lectures in Mathematics). The University of Chicago Press, Chicago, London 1990, ISBN 0-226-98337-4 (MR1045444).