Kobordismus

Topologische Relation
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In der Mathematik ist der Begriff des Kobordismus (auch: Bordismus) vor allem in der Topologie und ihren Anwendungen sowie in der topologischen Quantenfeldtheorie von Bedeutung. Er gilt als die bis heute „berechenbarste“ Relation unter Mannigfaltigkeiten, die geometrisch interessant ist.[1]

ist ein Kobordismus zwischen und .

Als Schöpfer der Kobordismentheorie gilt René Thom (1954)[2], wobei einige entscheidende Ideen schon von Lew Pontrjagin (1950 und davor) vorweggenommen wurden.

Definition

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Ein Kobordismus zwischen zwei Mannigfaltigkeiten   und   ist eine Mannigfaltigkeit   für deren Rand   gilt

 .
 
Der Kreis ist orientiert kobordant zur Vereinigung zweier Kreise.

  und   werden dann als unorientiert kobordant bezeichnet.

Häufiger wird allerdings der orientierte Kobordismus verwendet. Zwei orientierte Mannigfaltigkeiten   und   heißen orientiert kobordant, wenn es eine orientierte Mannigfaltigkeit   mit

 

gibt, wobei die Orientierung auf   die von der Orientierung von   induzierte Orientierung auf dem Rand und   die Mannigfaltigkeit   mit der entgegengesetzten Orientierung bezeichnet.

Berechenbarkeit

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Nach einem Satz von Thom sind zwei Mannigfaltigkeiten genau dann orientiert kobordant, wenn alle ihre Pontrjagin-Zahlen und Stiefel-Whitney-Zahlen übereinstimmen.

Anwendungen

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Kobordismus (orientiert oder unorientiert) definiert eine Äquivalenzrelation; die Äquivalenzklassen lassen sich mit der disjunkten Vereinigung als Gruppe auffassen.

René Thoms Berechnung (des torsionsfreien Teils) der (orientierten) Kobordismusgruppe hat zahlreiche Anwendungen in der algebraischen Topologie und darüber hinaus. Aus ihr folgte unmittelbar der Hirzebruchsche Signatursatz und auf ihr baute auch der ursprüngliche Beweis des Atiyah-Singer-Indexsatzes auf.

Innerhalb der Topologie war der Begriff für die Entwicklung der Chirurgietheorie grundlegend. Weiterhin sind die orientierten Kobordismusgruppen ein Beispiel einer verallgemeinerten Kohomologietheorie.

Auch die topologische Quantenfeldtheorie baut auf dem Begriff des Kobordismus auf, siehe Kobordismus-Vermutung.

Begriffsvarianten

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Verschiedene Varianten des Kobordismus-Begriffs sind von Bedeutung, insbesondere gerahmter Kobordismus (Pontrjagin-Thom-Konstruktion) und h-Kobordismus.

Literatur

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  • John Milnor: A survey of cobordism theory. Enseignement Math. (2) 8 1962 16–23. online (PDF; 9,1 MB)
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Einzelnachweise

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  1. Steimle, op.cit.
  2. Thom, Quelques propriétés globales des variétés différentiables, Comm.Math.Helvetici, Band 28, 1954, S. 17–86, Digitalisat