Kollektives Modell

Versicherungsmathematik

Ein kollektives Modell oder kollektives Risikomodell ist ein Paar zweier Zufallsvariablen mit großer Anwendung in der Versicherungsmathematik.

Definition

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Sei   eine Zufallsvariable mit   und   eine Folge von reellen stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen, dann heißt das Paar   kollektives Modell. Meistens sind die Zufallsvariablen   nichtnegative Zufallsvariablen.

Interpretation

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Eine mögliche Interpretation hat große Bedeutung in der Schadensversicherungsmathematik, wenn man einen homogenen Bestand an Risiken betrachtet. Hierbei interpretiert man   als die zufällige Anzahl aller Schäden, die in einem Zeitabschnitt eingetreten sind, und   als die Schadenhöhe die der  -te Schaden verursacht hat.

Allerdings ist bei der Verwendung in der Praxis Vorsicht geboten, da alle Zufallsvariablen als unabhängig voneinander verteilt angenommen werden, was in der Praxis nicht immer der Fall sein muss.

Das kollektive Modell ist eine Verallgemeinerung des individuellen Modells.

Weiterhin ist es in der Versicherungsmathematik sinnvoll einen Gesamtschaden   zu definieren:

 

  selbst ist dann wieder eine Zufallsvariable, die durch das zu Grunde liegende kollektive Modell beschrieben wird.

Eigenschaften

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  • Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Gesamtschadens   ist eine Mischverteilung, wobei die Verteilung von   die mischende Verteilung ist.
  • Die Verteilungsfunktion   von   ergibt sich als
 
Dabei bezeichnet   die Verteilungsfunktion von  .[1] Da die   stochastisch unabhängig und identisch verteilt sind, ist die Verteilung von   die  -fache Faltung der Verteilung von  .
  • Wenn   den Erwartungswert   hat, dann ist
 
der Erwartungswert von  .[2]
  • Wenn   den Erwartungswert   und die endliche Varianz   hat, dann ist
 
die Varianz von  .[3]
  • Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von   kann in bestimmten Fällen mit dem Panjer-Algorithmus rekursiv berechnet werden.[4]

Literatur

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Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. R. Kaas et al.: Modern Actuarial Risk Theory. S. 44.
  2. R. Kaas et al.: Modern Actuarial Risk Theory. S. 42.
  3. R. Kaas et al.: Modern Actuarial Risk Theory. S. 43.
  4. R. Kaas et al.: Modern Actuarial Risk Theory. S. 49–54.