Panjer-Algorithmus

Die Panjer-Rekursion (oder auch Panjer-Algorithmus) ist ein Algorithmus um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable

$S:=\sum _{i=1}^{N}X_{i}:=\sum _{n=0}^{\infty }\chi _{\{\omega \in \Omega |N(\omega )=n\}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

zu berechnen. Dabei sind $N$ und $X_{i}$ Zufallsvariablen, welche ein kollektives Modell bilden, und $\chi$ bezeichnet die Indikatorfunktion.

Der Algorithmus wurde in einer Publikation von Harry Panjer erstmals veröffentlicht. Er wird im Versicherungswesen häufig benutzt.

Vorbedingungen

Wir sind an der speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable $\textstyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}$ interessiert, wobei $N$ und $X_{i}$ die folgenden Vorbedingungen erfüllen müssen:

Schadenanzahlverteilung

$N$ ist eine „Schadenanzahlverteilung“, d. h. $N\in \mathbb {N} _{0}$. $N$ ist unabhängig von $X_{i}$.

Weiterhin muss $N$ ein Element der Panjer-Klasse sein. Die Panjer-Klasse besteht aus allen Zufallsvariablen mit Werten in $\mathbb {N} _{0}$, welche die folgende Relation erfüllen:

$p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1}$ mit $~~k\geq 1$ und für $a$ und $b$ mit $a+b\geq 0$.

Der Wert $p_{0}$ wird so bestimmt, dass $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1$ erfüllt ist.

Sundt bewies im Paper, dass nur die Binomialverteilung, die Poisson-Verteilung und die Negative Binomialverteilung in der Panjer-Klasse liegen. Sie haben die Parameter und Werte wie in der folgenden Tabelle beschrieben, wobei $W_{N}(x)$ die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bezeichnet.

Verteilung	$P[N=k]$	$a$	$b$	$p_{0}$	$W_{N}(x)$	$E[N]$	$Var(N)$
Binomial	${\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$	${\frac {p}{p-1}}$	${\frac {p(n+1)}{1-p}}$	$(1-p)^{n}$	$(px+(1-p))^{n}$	$np$	$np(1-p)$
Poisson	$e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$	$0$	$\lambda$	$e^{-\lambda }$	$e^{\lambda (x-1)}$	$\lambda$	$\lambda$
Negative Binomial	${\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}$	$1-p$	$(1-p)(r-1)$	$p^{r}$	$\left({\frac {p}{1-x(1-p)}}\right)^{r}$	${\frac {r(1-p)}{p}}$	${\frac {r(1-p)}{p^{2}}}$

Einzelschadenverteilung

Wir nehmen an, dass $X_{i}$ identisch verteilte unabhängige Zufallsvariablen sind, welche unabhängig von $N$ sind. Weiterhin muss $X_{i}$ auf einem Gitter $h\mathbb {N} _{0}$ mit Gitterlänge $h>0$ verteilt sein.

$f_{k}=P[X_{i}=hk].$

Rekursion

Der Algorithmus verwendet eine Rekursion, um die Wahrscheinlichkeiten $g_{k}=P[S=hk]$ zu berechnen.

Der Startwert ist: $g_{0}=W_{N}(f_{0})$

mit den Spezialfällen

$g_{0}=p_{0}\cdot \exp(f_{0}b){\text{ für }}a=0,$

und

$g_{0}={\frac {p_{0}}{(1-f_{0}a)^{1+b/a}}}{\text{ für }}a\neq 0.$

Die nachfolgenden Werte können folgendermaßen berechnet werden:

$g_{k}=P[S=hk]={\frac {1}{1-f_{0}a}}\sum _{j=1}^{k}\left(a+{\frac {b\cdot j}{k}}\right)\cdot f_{j}\cdot g_{k-j}.$

Beispiel

Abbildung 1

Abbildung 1 zeigt die approximierte Dichtefunktion von $\textstyle S\,=\,\sum _{i=1}^{N}X_{i}$ wobei $\textstyle N\,\sim \,\operatorname {NegBin} (3{,}5;0{,}3)$ und $\textstyle X\,\sim \,\operatorname {Frechet} (1{,}7;1)$. Die Einzelschadenverteilung wurde mit einer Gitterbreite $h=0{,}04$ diskretisiert (siehe auch Fréchet-Verteilung).

Siehe auch

• Panjer-Verteilung
• Blackwell-Girshick-Gleichung

Literatur

• Schmidt, Klaus D.: Versicherungsmathematik, Springer Dordrecht Heidelberg London New York 2009, ISBN 978-3-642-01175-7.