Panjer-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Panjer-Verteilung (nach Harry Panjer) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, welche die Verteilungen negative Binomialverteilung, Binomialverteilung (für ) und Poisson-Verteilung in einer Verteilungsklasse vereint. Somit gehört sie zu den univariaten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie wird in der Versicherungsmathematik eingesetzt als Schadenzahlverteilung, da ihre spezielle rekursive Struktur einen effizienten Algorithmus zur Berechnung der Gesamtschadenverteilung eines Versicherungsportefeuilles ermöglicht.

Panjer-Verteilung

Verteilungsfunktion
Parameter a,b
Träger
Erwartungswert
Varianz

Charakterisierung

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Die Klasse der Panjer-Verteilung besteht aus allen Verteilungen auf  , für die es Konstanten   mit   gibt, so dass folgende Rekursionsvorschrift für die Zähldichte   gilt:

 

Die Wahrscheinlichkeit   ergibt sich aus der Normierungsbedingung

 

Eine Folge   mit diesen Eigenschaften ist eine spezielle stochastische Folge, die als Panjer-Folge bezeichnet wird.[1]

Eigenschaften

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Erwartungswert und Varianz der Panjer-Verteilung sind gegeben durch

 

Es ist

 

woraus folgt, dass

 
 
 

Spezialfälle

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Verteilung              
Binomial              
Poisson              
Negativ Binomial              

Mit   erhält man die Poisson-Verteilung. In diesem Fall ist also  .

 
Panjer- und Binomialverteilung

Mit   erhält man die Binomialverteilung. In diesem Fall ist  .

Mit   erhält man die Negative Binomialverteilung (Zählung der Misserfolge). Hier ist nun  .

Siehe auch

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Literatur

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  • Thomas Mack: Schadenversicherungsmathematik. 2. Auflage, Verlag Versicherungswirtschaft 2002, ISBN 3-88487-957-X.

Einzelnachweise

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  1. Klaus D. Schmidt: Stochastische Folgen. Ein Proseminar mit Anwendungen in der Versicherungsmathematik (= Springer-Lehrbuch). Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-46175-4, Kap. 8: Panjer-Folgen, S. 95–104, doi:10.1007/978-3-662-46176-1.